חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מ התחלה של שכתוב |
||
שורה 1:
פונקציות
==הגדרה==
<u> פונקציה </u> הינה התאמה
ההתאמה הינה ''חד ערכית'', כלומר לכל איבר בתחום הגדרת הפונקציה מותאם איבר יחיד בקבוצת הטווח. במילים אחרות, אם נתונה פונקציה <math>\ f</math> ואיבר <math>\ x_0
[[תמונה:P1fstt.jpg|תרשים להמחשה: תחום, טווח ותמונה]] <br>
נהוג לכתוב פונקציה באופן הבא:</br>
<math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & A & \rightarrow & B \\ & x & \mapsto & f\left( x\right) \end{matrix}</math>, כאשר: A הינה התחום ו-B היא הטווח. </br>
השורה העליונה מציגה את הסימון של הפונקציה, את סימון התחום ואת סימון הטווח. השורה התחתונה נותנת את כלל ההתאמה של הפונקציה.
בתור דוגמה, נביט בפונקציה המקבלת מספר ממשי ומעלה אותו בריבוע:
<math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}^+\cup \left\{0\right\} \\ & x & \mapsto & x^2 \end{matrix}</math>,
כאן <math>\ \mathbb{R}^+\cup\left\{0\right\}</math> מסמן את קבוצת כל המספרים הממשיים הגדולים או שווים ל-0.
הגדרות:
# יהא <math>\ y_0\in\mathbb{R} </math> כלשהו, ונניח שקיים <math>\ x_0\in\mathbb{R} </math> כך ש- <math>\ f\left( x\right) =y_0</math>. במקרה זה, אומרים ש- <math>\ x_0</math> הוא '''''מקור''''' של <math>\ y_0</math>.▼
# יהא <math>\ y_0\in\mathbb{R} </math> כלשהו, ונניח שקיים <math>\ x_0\in\mathbb{R} </math> כך ש- <math>\ f\left( x\right) =y_0</math>. במקרה זה, אומרים ש- <math>\ y_0</math> היא '''''התמונה''''' של <math>\ x_0</math>.▼
* שימו לב: בגלל שהפונקציה היא חד-ערכית, לכל מקור יש תמונה אחת בלבד. לתמונה, לעומת זאת, יכולים להיות שניים, שלושה ואפילו אינסוף מקורות. למשל, עבור הפונקציה הקבועה <math>\ f\left( x\right) = 5</math>, למספר 5 יש אינסוף מקורות.</br>▼
תהא <math>\ f:A\to B</math> פונקציה.
דוגמא: נתבונן בפונקציה:</br> <math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \left\{ 1,2,5 \right\} & \rightarrow & \left\{ 3,7,14 \right\} \\ & 1 & \mapsto & 3 \\ & 2 & \mapsto & 7 \\ & 5 & \mapsto & 14 \end{matrix}</math> </br>במקרה זה, התחום הינו הקבוצה <math>\ \left\{ 1,2,5 \right\}</math> והתמונה הינה הקבוצה <math>\ \left\{ 3,7,14 \right\}</math>. במקרה כזה, אנו יכולים להגיד שהטווח הכללי של הפונקציה הוא <math>\ \mathbb{N}</math>.▼
▲# יהא <math>\ y_0\in
▲# יהא <math>\ y_0\in
▲* שימו לב: בגלל שהפונקציה היא חד-ערכית, לכל מקור יש תמונה אחת בלבד. לתמונה, לעומת זאת, יכולים להיות שניים, שלושה ואפילו אינסוף מקורות. למשל, עבור הפונקציה הקבועה <math>\ f\left( x\right) = 5</math>, למספר 5 יש אינסוף מקורות כאשר התחום הוא <math>\ \mathbb{R}</math>.</br>
▲דוגמא: נתבונן בפונקציה:</br> <math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \left\{ 1,2,5 \right\} & \rightarrow & \left\{ 3,7,14 \right\} \\ & 1 & \mapsto & 3 \\ & 2 & \mapsto & 7 \\ & 5 & \mapsto & 14 \end{matrix}</math> </br>במקרה זה, התחום הינו הקבוצה <math>\ \left\{ 1,2,5 \right\}</math> והתמונה הינה הקבוצה <math>\ \left\{ 3,7,14 \right\}</math>. במקרה כזה, אנו יכולים להגיד שהטווח
==תכונות==
| |||