חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ התחלה של שכתוב |
|||
שורה 1:
פונקציות יהיו הנושא העיקרי בו נעסוק בקורס זה. לעת עתה נציג מבוא קצר לפונקציות על מנת לתת מושג כללי של מושג חשוב זה.
==הגדרה==
===כללי===
<u> פונקציה </u> הינה התאמה של איברים מקבוצה הנקראת "תחום הגדרת הפונקציה" (או בקיצור: תחום) לקבוצה הנקראת "תמונת הפונקציה" (או בקיצור: תמונה). במילים אחרות, ה''תחום'' הינו קבוצת כל האיברים עליהם ניתן להפעיל את הפונקציה (כלומר כל האיברים שהפונקציה יכולה לקבל), וה''תמונה'' הינה קבוצת כל הערכים שיכולים להתקבל כתוצאה מהפעלת הפונקציה על האיברים בתחום. אם התמונה מהווה תת-קבוצה של קבוצה גדולה אחרת, הקבוצה הגדולה יותר תקרא "טווח הפונקציה" או בקיצור "טווח". </br>
ההתאמה הינה ''חד ערכית'', כלומר לכל איבר בתחום הגדרת הפונקציה מותאם איבר יחיד בקבוצת הטווח. במילים אחרות, אם נתונה פונקציה <math>\ f</math> ואיבר <math>\ x_0</math> בתחום הפונקציה, קיים <math>\ y_0</math> ''יחיד'' בתחום הגדרת הפונקציה המותאם אליו. מסמנים זאת כך: <math>\ f\left( x_0\right) =y_0</math>.</br></br>
[[תמונה:P1fstt.jpg|תרשים להמחשה: תחום, טווח ותמונה]] <br>
===אופן הכתיבה===
נהוג לכתוב פונקציה באופן הבא:</br>
<math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & A & \rightarrow & B \\ & x & \mapsto & f\left( x\right) \end{matrix}</math>, כאשר: A הינה התחום ו-B היא הטווח. </br>
שורה 13 ⟵ 15:
כאן <math>\ \mathbb{R}^+\cup\left\{0\right\}</math> מסמן את קבוצת כל המספרים הממשיים הגדולים או שווים ל-0.
===חלוקה למקרים===
תהא <math>\ f\left( x\right)</math> פונקציה, הפועלת בצורה שונה על מספרים מהקבוצה A ועל מספרים מהקבוצה B. אזי, נכתוב את פעולת הפונקציה באופן הבא:
<math>\ f\left( x\right) =\left\{ \begin{matrix} f_1\left( x\right) & x\in A \\ f_2\left( x\right) & x\in B \end{matrix} \right. </math>. כאשר <math>\ f_1\left( x\right) </math> היא הדרך בה פועלת <math>\ f\left( x\right) </math> על מספרים השייכים לקבוצה A, ו- <math>\ f_2\left( x\right) </math> היא הדרך בה פועלת <math>\ f\left( x\right) </math> על מספרים השייכים לקבוצה B.
המעתיקה קבוצות שונות של מספרים מספרים באופן הבא: אם המספר הוא חיובי או אפס (מה שנקרא '''אי שלילי''') הפונקציה מוסיפה למספר 5, ואם הוא שלילי - ה
הלוקחת את כל המספרים האי-שליליים (=חיוביים בתוספת איבר האפס) ומחזירה את להם 5,
===הגדרות
תהא <math>\ f:A\to B</math> פונקציה.
|