חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 31:
דוגמא: נתבונן בפונקציה:</br> <math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \left\{ 1,2,5 \right\} & \rightarrow & \left\{ 3,7,14 \right\} \\ & 1 & \mapsto & 3 \\ & 2 & \mapsto & 7 \\ & 5 & \mapsto & 14 \end{matrix}</math> </br>במקרה זה, התחום הינו הקבוצה <math>\ \left\{ 1,2,5 \right\}</math> והתמונה הינה הקבוצה <math>\ \left\{ 3,7,14 \right\}</math>. במקרה כזה, אנו יכולים להגיד שהטווח של הפונקציה הוא <math>\ \mathbb{N}</math>.
==פונקציה הפוכה==
כאמור למעלה, פונקציה היא תמיד ''חד ערכית''. נראה אילו תכונות נוספות פונקציה כללית <math>\ f\left( x\right)</math> יכולה לקיים:
===חד חד ערכיות===
שורה 37:
===על===
נגיד שפונקציה היא ''על'' אם לכל איבר בטווח קיים איבר בתחום שמתאים לו. תכונה זו, כפי שנראה בהמשך, תלויה פעמים רבות בהגדרת הטווח.
===הגדרה===
לפונקציה שהיא גם חח"ע וגם על ניתן להגדיר פונקציה הפוכה, באופן הבא: אם <math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & A & \rightarrow & B \\ & x & \mapsto & y=f\left( x\right) \end{matrix} </math>, אזי הפונקציה ההפוכה <math>\ f^{-1}\left( y\right) </math> תיראה כך:
<math>\ \begin{matrix} f^{-1}\left( y\right) : & B & \rightarrow & A \\ & y & \mapsto & x=f^{-1}\left( y\right) \end{matrix} </math>
דוגמא: מצאו את הפונקציה ההפוכה של <math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \mathbb{N} & \rightarrow & \mathbb{Z} \\ & x & \mapsto & -1\cdot x \end{matrix} </math>.
פתרון: ראשית נבדוק שמתקיימות התכונות שלמעלה: הפונקציה היא חד חד ערכית, כי לכל איבר בתמונה יש מקור יחיד. לעומת זאת, הפונקציה אינה על. על מנת לפתור בעיה זו ולמצוא את הפונקציה ההפוכה, נשנה את אופן רישום הפונקציה: '''התמונה''' של הפונקציה הינה כל השלמים השליליים, כלומר <math>\ \mathbb{Z} ^- </math>. לכן, נרשום את הפונקציה באופן הבא:
<math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \mathbb{N} & \rightarrow & \mathbb{Z} ^- \\ & x & \mapsto & -1\cdot x \end{matrix} </math>.
</br>כעת: הפעולה ההפוכה לכפל ב- <math>\ -1</math> היא כפל ב- <math>\ -1</math>. לכן, הפונקציה ההפוכה תהיה: <math>\ \begin{matrix} f\left( x\right) : & \mathbb{Z} ^- & \rightarrow & \mathbb{N} \\ & x & \mapsto & -1\cdot x \end{matrix} </math>.
במבוא זה לא ניכנס להסברים יותר מפורטים. אליהם נגיע רק ב[[חשבון אינפיניטסמלי/פונקציות|פרק השני]] של קורס זה.
<table id=toc width = 75% border = 1 align="center">
| |||