חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/תרגולים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←פונקציות: - תיקונים ותוספות |
|||
שורה 68:
אם <math>\ f</math> אינה על, קיים <math>\ y\in E</math> כך שלא קיים <math>\ x\in D</math> שעבורו <math>\ f(x)=y</math>. לכן שוב לא ברור כיצד להגדיר את <math>\ f^{-1}(y)</math> - אין אף איבר שמתאים למטרה זו.
===פונקצית הערך המוחלט===
הגדרה:
פונקצית הערך המוחלט <math>\ f\left( x\right) =\left| x \right| : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} ^+\cup\left\{ 0\right\} </math> מוגדרת באופן הבא:
<math>\ \left| x \right| = \left\{ \begin{matrix} x & x\ge 0 \\ -x & x<0 \end{matrix} \right. </math> [[תמונה:Ereh muhlat.jpg|סכמה של הפונקציה]]
</br>
תכונות הערך המוחלט:
# <math>\ \left| xy\right| =\left| x\right| \left| y\right| </math>
# <math>\ \left| -x\right| =\left| x\right| </math>
# אי שיוויון המשולש: <math>\ \left| x+y\right| \le\left| x\right| +\left| y\right| </math>
# <math>\ -y\le\left| x\right| \le y \ \Leftrightarrow \ \left| x\right|\le y </math>
נוח לחשוב על <math>\ \left| x\right| </math> כעל המרחק של <math>\ x</math> מהאפס. בצורה דומה, <math>\ \left| x-x_0\right|</math> הוא המרחק של <math>\ x</math> מהאיבר <math>\ x_0 </math>.
דוגמאות: אי שיוויונים עם ערך מוחלט: <br>
1) פתרי בצורה גרפית את אי השיוויון: <math>\ \left| x+2\right| <4 </math>.
<br> פתרון: נוח לחשוב על השאלה באופן הבא: מצאו את כל ה- <math>\ x</math>-ים שמרחקם מ- <math>\ -2</math> קטן מ- <math>\ 4</math>. כלומר, הפתרון יראה כך: [[תמונה:P2fstt.jpg|כך נראה הפתרון!]].
<br> לכן נקבל: <math>\ x\in\left( -6,2\right) </math>.
2) צ"ל (צריך להוכיח): אם <math>\ \left| x-2\right| <\frac{1}{2} </math>, אזי: <math>\ \left| \frac{x^2-3x}{2x-6}-1\right| <\frac{1}{4} </math>. <br>
פתרון: <math>\ \left| \frac{x^2-3x}{2x-6} -1\right| =\left| \frac{x^2-5x+6}{2\left( x+3\right) }\right| =\left| \frac{\left( x-2\right) \left( x-3\right) }{2\left( x-3\right) } \right| =\frac{\left| x-2\right|}{2} </math>. נשים לב, שבמונה קיבלנו את הביטוי המופיע בנתון, לכן נוכל להציב את שידוע לנו. נקבל: <math>\ \left| \frac{x^2-3x}{2x-6} -1\right| =\frac{\left| x-2\right|}{2} < \frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4} </math> והוכחנו את הטענה. ▪
3) צ"ל: אם <math>\ \left| x+1\right| <\frac{1}{2} </math>, אזי: <math>\ \left| \frac{2x+2}{x-1}\right| <\frac{2}{3}</math>. <br>
פתרון: ראשית, לפי הנתון: <math>\ \left| \frac{2x+2}{x-1}\right| =\left| \frac{2\left( x+1\right)}{x-1}\right| <\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{\left| x-1\right|} =\frac{1}{\left| x-1\right|} </math>
<br>כעת, נעריך את הביטוי <math>\ \left| x-1 \right| </math>:
<center> (מהנתון) <math>\ \left| x+1\right| <\frac{1}{2} \qquad </math></center>
<center> <math>\ -\frac{1}{2}<x+1<\frac{1}{2} \qquad \backslash -2 </math></center>
<center> <math>\ -\frac{5}{2}<x-1<-\frac{3}{2} \qquad \backslash\cdot\left( -1\right) </math></center>
<center> <math>\ \frac{3}{2}<x-1<-\frac{5}{2} </math></center>
כעת: כל הביטויים שקיבלנו חיוביים, בפרט <math>\ x-1</math>. לכן, ניתן להפעיל אליו את פונקצית הערך המוחלט מבלי לשנות את ערכו (זיכרו את ההגדרה של הפונקציה עבור מספרים חיוביים!) ונקבל:
<center> <math>\ \frac{3}{2}<\left| x-1 \right|<-\frac{5}{2} </math></center>
<center><math>\ \frac{1}{\left| x-1\right|} <\frac{2}{3}</math></center>
כלומר קיבלנו: ▪ <math>\ \left|\frac{2x+2}{x-1}\right| <\frac{1}{\left| x-1\right|} <\frac{2}{3}\ \Rightarrow\ \left|\frac{2x+2}{x-1}\right| <\frac{2}{3}</math>
==קבוצות מספרים==
| |||