חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/תרגולים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Superot (שיחה | תרומות)
Superot (שיחה | תרומות)
מ ←‏אינדוקציה: - מחיקת סעיף (הדוגמה שולבה בתיאוריה)
שורה 3:
דף זה מיועד לקריאה לאחר שעברתם על כל החומר התיאורטי [[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות|בפרק זה]], והוא מכיל מעט תיאוריה ומספר תרגילים פתורים. לאחר שתסיימו אותו, אתם מוזמנים לתרגל את החומר בעצמכם [[חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/תרגילים|כאן]].
 
==אינדוקציה==
עיקרון ההוכחה בעזרת אינדוקציה:
# בסיס האינדוקציה: בודקים נכונות הטענה עבור <math>\ n=1</math>. לפעמים, אם הכלל חל רק החל ממספר מסויים הגדול מאחד, בודקים את נכונות הטענה עבורו.
# הנחת האינדוקציה: מניחים שהטענה נכונה עבור <math>\ k\le n</math>.
# צעד האינדוקציה: מוכיחים את הטענה עבור <math>\ k=n+1 </math>.
 
<u>דוגמא</u>: </br>
נתונים <math>\ x\le -1,\ n\in\mathbb{N} </math> כלשהם. הוכיחו עבורם את אי השיוויון הבא: <math>\left( 1+x\right) ^n\le 1+nx </math></br>
<u>הוכחה</u>: נוכיח באינדוקציה. </br>
# בדיקה עבור <math>\ n=1</math>: <math>\ \left( 1+x\right) ^1 \le 1+x\cdot 1</math>.
# נניח שמתקיים: <math>\ \left( 1+x\right) ^n\le 1+nx </math>.
# נוכיח עבור <math>\ n+1</math>:
<math>\ \begin{matrix} \left( 1+x\right) ^{n+1}=\left( 1+x\right) ^n\left( 1+x\right) \underbrace{ \le }_{*} \left( 1+nx\right) \left( 1+x\right) = \\ =
\ 1+x+nx^2+nx<1+x+nx=1+\left( n+1\right) x \end{matrix} </math>
</br>שימו לב, שב- <math>\ *</math> הצבנו את הנחת האינדוקציה - והטענה הוכחה.▪
 
==פונקציות==