|
כאמור, המקרה בו <math>\ a=e=2.718...</math> הוא מקרה מיוחד. במצב זה כאמור הפונקציה חיובית ועולה (כי בסיס החזקה גדול מ-1) בכל התחום. המאפיין המיוחד שלה הוא שהנגזרת שלה בכל נקודה שווה לערך הפונקציה באותה נקודה, כלומר <math>\ (e^x)'=e^x</math>.
=נקודות= נגזרת ונקודות קיצון ==
הנגזרת של הפונקציה המעריכית <math>\ f(x)=a^x</math> היא <math>\ f'(x)=a^x \cdot ln(a)</math>, כאשר <math>\ ln()</math> הוא לוגריתם בבסיס <math>\ e=2.718...</math>. נובע מכך, כי נגזרת הפונקציה (ושיפוע המשיק שלה בכל נקודה ונקודה) פרופורציוני לערך הפונקציה באותה נקודה.
==נגזרות==
==הנגזרת של פונקציה <math>y=a^x</math> ; על פי הגדרת הנגזרת (לחמש יחידות)==
הנגזרת של פונקציה מעריכית בנקודה <math>X=X_0</math> היא :
<math>F(x)'=lim_{h \to 0} \frac {a^{x_0}(a^h-1)}{h}</math>
נשים לב כי עבור הפונקציה המיוחדת <math>\ f(x)=e^x</math> מתקיים <math> f'(x)=ln(e) \cdot e^x=1 \cdot e^x=e^x=f(x)</math>, כלומר שיפוע הפונקציה בכל נקודה שווה ממש לערך הפונקציה בה (קבוע הפרופורציה הוא 1).
למשל : הנגזרת של הפונקציה <math>F(x)=2^x</math>, בנקודה <math>x=3</math> היא :
<math>
\begin{align}
F(x)'&=lim_{h \to 0} \frac {2^{3_0}(2^h-1)}{h}\\
&=lim_{h \to 0} \frac {2^3(2^{0.01}-1)}{0.01}\\
&=8*0.965\\
\end{align}
</math>
להוכחה : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]]
===נגזרת של פונקציות מעריכיות מורכבות על פי הגדרת הנגזרת (5 יחידות לימוד)===
הנוסחא : <math>a^{g(x)'}=a^{g(x)}*g(x)'*Ca</math>
להוכחה : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]]
===נגזרת של <math>y=e^x</math>===
הנוסחא : <math>e^{f(x)}=e^{f(x)}*f'(x)</math>
להוכחה : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|לחץ כאן]]
לדוגמא, הנגזרת של הפונקציה <math>y=e^{x^2-4x}+5x</math> היא : <math>y'=e^{x^2-4x}*(2x-4)+5</math>
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה|שיפוע המשיק : הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה]]==
{{תיבה עם כותרת|
כותרת=הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת פונקציה מעריכית|
תוכן=
<div style="text-align: center;">
שיפוע פונקציה = שיפוע הפונקציה בנקודה <math>X=0</math> כפול ערך הפונקציה!
</div>
.|
צבעכ=#F0F080|
צבער=#FFFFA0}}
{{תיבה עם כותרת|
כותרת= סיכום שלבים למציאת שיפוע|
תוכן=
#הפונקציה : <math>f(x)=a^x</math>.
#שיפוע הפונקציה בנקודה <math>X=0 : Ca=lim_{h \to 0} \frac {a^h-1}{h}</math>.
# חישוב שיפוע : <math>C=a*Ca</math>. נזכיר כי : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית|<math>C_a=lna</math>]]
.|
צבעכ= #40BFFF|
צבער=#4080FF}}
{{דוגמה|
מספר=|
שם=מצא את משוואת המשיק לפונקציה <math>y=4^x</math> בנקודה <math>X=1</math>|
תוכן=
===שלב א' – נגזרת===
<math>C_4=1.386=ln4</math><br />
<math>F(x)=4^x</math>
<math>\begin{align}
F(1)'&=4^x*ln4\\
& = 4*1*ln4=5.54\\
\end{align}
</math>
===שלב ב' ===
מציאת ערך y של הנקודה <math>X=1</math>, היא :''' <math>Y(1)=4^1=4</math>
===שלב ג'===
משוואת המשיק :
<math>
\begin{align}
& y-4=5.544*(x-1)\\
& y=5.544X-1.544\\
\end{align}
</math>
}}
{{תיבה עם כותרת|
כותרת=היחודיות של פונקציה <math>y=e^x</math>|
תוכן=
אם <math>a=2.718</math>, אז הפונקציה היא : <math>y=2.718^x</math>, והנגזרת היא : <math>y'=2.718^x*1</math>
.|
צבעכ=#F0F080|
צבער=#FFFFA0}}
=נקודות פיתול=
| 