מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ביטול גרסה 72502 של 89.138.182.80 (שיחה) |
המשך עריכה. |
||
שורה 1:
== תבנית ==
#
#
ניתן להפריד את הפונקציות המעריכיות לשלוש קטגוריות עיקריות:
# כאשר <math>\ a=1</math> הפונקציה המעריכית היא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה קבועה]] <math>\ y=1</math>.
# כאשר <math>\ a\ne1</math>:
#* אם <math>\ a>1</math>
#* אם <math>\ 0<a<1</math>
המאפיינים החשובים של הפונקציה:
# זוהי פונקציה אי-שלילית, כלומר היא לעולם לא מקבלת ערכים שליליים.
# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]] ההגדרה של הפונקציה הוא כל הישר הממשי: <math>\ x\in\mathbb R</math>.▼
▲# [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]]: <math>\ x\in\mathbb R</math>.
הנגזרת של הפונקציה המעריכית <math>\ f(x)=a^x</math> היא <math>\ f'(x)=a^x \cdot ln(a)</math>, כאשר <math>\ ln()</math> הוא לוגריתם בבסיס <math>\ e=2.718...</math>. נובע מכך, כי נגזרת הפונקציה (ושיפוע המשיק שלה בכל נקודה ונקודה)
▲== נגזרת ונקודות קיצון ==
▲הנגזרת של הפונקציה המעריכית <math>\ f(x)=a^x</math> היא <math>\ f'(x)=a^x \cdot ln(a)</math>, כאשר <math>\ ln()</math> הוא לוגריתם בבסיס <math>\ e=2.718...</math>. נובע מכך, כי נגזרת הפונקציה (ושיפוע המשיק שלה בכל נקודה ונקודה) פרופורציוני לערך הפונקציה באותה נקודה.
נשים לב כי עבור הפונקציה המיוחדת <math>\ f(x)=e^x</math> מתקיים <math> f'(x)=ln(e) \cdot e^x=1 \cdot e^x=e^x=f(x)</math>, כלומר שיפוע הפונקציה בכל נקודה שווה ממש לערך הפונקציה בה (קבוע הפרופורציה הוא 1).
אם כן: נגזרת הפונקציה המעריכית היא <math>\ (a^x)'=a^x \cdot ln(a)</math>. הגורם הראשון במכפלה הוא לעולם חיובי. סימנו של הגורם השני, לעומת זאת, תלוי ב-<math>\ a</math>: אם <math>\ a>1</math> אז הוא חיובי, ואם <math>\ 0<a<1</math> אז הוא שלילי. במקרה המיוחד בו <math>\ a=1</math> מתקיים <math>\ f'(x)=0</math>, מה שלא מפתיע - כי ראינו שעבור מקרה זה הפונקציה היא פונקציה קבועה.
נמשיך בניתוח (<math>\ a\ne1</math>): מאחר שסימן הנגזרת תלוי רק ב-a אך לא ב-x, מתקיים שהפונקציה תמיד עולה (אם <math>\ a>1</math>) או שהיא תמיד יורדת ((אם <math>\ 0<a<1</math>). כלומר, לפונקציה לא קיימות נקודות קיצון. גזירה שנייה תניב <math>\ f''(x)=a^x \cdot (ln(a))^2</math>, וביטוי זה הוא לעולם חיובי. לכן לפונקציה גם לא קיימות נקודות פיתול.
נדגיש: גם במקרה בו <math>\ a=1</math> והנגזרת לעולם מתאפסת (הראינו לעיל), לפונקציה אין נקודות קיצון. בנקודות קיצון סטנדרטיות מתקיים <math>\ f'(x)=0</math> וגם <math>\ f''(x)\ne0</math>, מה שלא מתקיים במקרה שלפנינו.
== תכונות נוספות ==
לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית <math>\ y=0</math>, אליה היא שואפת ב-<math>\ x \to +\infty</math> כאשר <math>\ 0<a<1</math> או ב-<math>\ x \to -\infty</math> כאשר <math>\ a>1</math>.
לפונקציה אין אסימפטוטות אנכיות (שכן היא מוגדרת על כל הישר הממשי).
== קצב גידול ומהירות שאיפה ==
הפונקציה המעריכית גדלה מהר מאוד, הרבה יותר מהר מפונקציות כמו <math>\ x^2</math> או אחיותה <math>\ x^3, x^4, x^5</math> וכו'. לכן, נשים לב שפונקציה כמו <math>\ \frac{x^10}{e^x}</math> שואפת לאפס כש-<math>\ x</math> שואף לאינסוף. הסיבה לכך היא שהמכנה, כפי שאמרנו, גדל הרבה יותר מהר מהמונה, ולכן תוצאת המנה הולכת וקטנה ככל ש-<math>\ x</math> גדל.
[[קטגוריה
| |||