מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית: הבדלים בין גרסאות בדף

* '''הנגזרת של הפונקציה המעריכית''' <math>\ f(x)=a^x</math> היא <math>\ f'(x)=a^x \cdot ln(a)</math>, כאשר <math>\ ln()</math> הוא לוגריתם בבסיס <math>\ e=2.718...</math>. נובע מכך, כי נגזרת הפונקציה (ושיפוע המשיק שלה בכל נקודה ונקודה) פרופורציונית לערך הפונקציה באותה נקודה.

** נשים לב כי עבור הפונקציה המיוחדת <math>\ f(x)=e^x</math> מתקיים <math> f'(x)=ln(e) \cdot e^x=1 \cdot e^x=e^x=f(x)</math>, כלומר שיפוע הפונקציה בכל נקודה שווה ממש לערך הפונקציה בה (קבוע הפרופורציה הוא 1).

* אם כן: נגזרת הפונקציה המעריכית היא <math>\ (a^x)'=a^x \cdot ln(a)</math>. הגורם הראשון במכפלה הוא לעולם חיובי. סימנו של הגורם השני, לעומת זאת, תלוי ב-<math>\ a</math>: אם <math>\ a>1</math> אז הוא חיובי, ואם <math>\ 0<a<1</math> אז הוא שלילי. במקרה המיוחד בו <math>\ a=1</math> מתקיים <math>\ f'(x)=0</math>, מה שלא מפתיע - כי ראינו שעבור מקרה זה הפונקציה היא פונקציה קבועה.

* נמשיך בניתוח (<math>\ a\ne1</math>): מאחר שסימן הנגזרת תלוי רק ב-a אך לא ב-x, מתקיים שהפונקציהש'''הפונקציה תמיד עולה (אם <math>\ a>1</math>) או שהיא תמיד יורדת ((אם <math>\ 0<a<1</math>)'''. כלומר, לפונקציה '''לא קיימות נקודות קיצון'''. גזירה שנייה תניב <math>\ f''(x)=a^x \cdot (ln(a))^2</math>, וביטוי זה הוא לעולם חיובי. לכן לפונקציה גם '''לא קיימות נקודות פיתול'''.

* נדגיש: גם במקרה בו <math>\ a=1</math> והנגזרת לעולם מתאפסת (הראינו לעיל), לפונקציה אין נקודות קיצון. בנקודות קיצון סטנדרטיות מתקיים <math>\ f'(x)=0</math> וגם <math>\ f''(x)\ne0</math>, מה שלא מתקיים במקרה שלפנינו.