|
פרק זה הינו פרק המשך ל[[אלגברה תיכונית/חוקי החשבון|חוקי החשבון]] ומתבסס על ידיעת הטכניקות מהפרק הקודם על בוריין. הפרק עוסק בטכניקות בסיסיות ופשוטות של האלגברה, אשר בעזרתן מקילים במידה ניקרת את הקושי בפתרון בעיות אלגבריות מסובכות. כמו בפרק הקודם, אנו מדגישים כי למרות שהעקרונות שיובאו בפרק זה הינם קלים להבנה, אין די בכך. יש צורך בתרגול רב על מנת לשלוט בטכניקות אלו. גם תלמידים מוכשרים, טוב יעשו לו יתרגלו נושא זה לרוב.
פרקי ספר זה הינם:
=[[אלגברה תיכונית/טכניקות של פישוט=]]
ישנו במתמטיקה מושג מעט לא מתמטי שנקרא '''פישוט''' או '''הבאה לצורה הפשוטה ביותר'''. זהו תהליך שבו מפעילים '''פעולות חשבון מותרות''' על תבנית מתמטית כלשהי ומביאים אותה לצורה "פשוטה יותר". איזוהי הצורה הפשוטה יותר, זוהי שאלה שהיא יותר שאלה אנושית מאשר שאלה מתמטית מכיוון שאולי צורה אחת פשוטה יותר מצורה שניה לפלוני ולאלמוני היא למעשה מסובכת מצורה אחרת. למרות זאת, ישנה הסכמה שישנן צורות מסויימות שהן פשוטות יותר מצורות אחרות. למשל, את המספר 1 ניתן להציג בדרכים רבות מאוד. למשל, ברור שניתן להציג את המספר בצורה של <math>\frac{a}{a}</math>. וגם בצורה זו למשל (מתחום ה[[טריגונומטריה]]) <math>\sin^{2}{x}+\cos^{2} {x}</math>. יסכימו הקוראים, כי הצורה הפשוטה יותר היא, כמובן, '''1'''.
ישנן דוגמאות נוספות רבות כמובן. צורה זו היא כמובן קלה יותר לקריאה.</br>
מעבר לסיבות של קריאה, עדיף בד"כ להגיע לתוצאות מפושטות שכן אלו בד"כ ימנעו טעויות בחישוב ויקלו עליו מכיוון שלרוב בעזרת פישוט יהיה צורך בפחות פעולות חשבון בסך הכל.</br>
אנו נעבור כעת על מספר צורות אשר מקובלות כצורות הפשוטות יותר (אם כי יצויין כי ישנם יוצאי דופן נדירים) ועל מספר כללים אשר את רוב האנשים יובילו לתחושה שתבנית זו או אחרת היא הפשוטה ביותר שניתן להשיג.
==מינימום של פעולות חשבון==
במרבית המקרים, כאשר ממעיטים במספר פעולות החשבון בהצגת ערך מסויים (או פסוק מסויים) ברור שהתוצאה תיראה קלה יותר להבנה. אם-כן, למשל, המספר <math>2\cdot 2^{7}</math> קל יותר לקריאה (וגם פשוט יותר) כ-256.
==צמצום שברים וביטול אברים נגדיים==
כמעט בכל המקרים, אנו מעדיפים לצמצם גורמים משותפים בשברים. למשל בשבר <math>\frac{ab}{bc}</math> ישנו גורם משותף למונה ולמכנה. זהו כמובן <math>b</math>. במקרה זה ניתן להציג את השבר כמכפלה של שני שברים כך
<math>\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{b}=\frac{a}{c}\cdot{1}=\frac{a}{c}</math>. פעולה זו נקראת צמצום והיא מסומנת לרוב על ידי מחיקה בקו אלכסוני יחיד של האיבר במונה ובמכנה שאותם מצמצמים כך
</br><center><math>\frac{a\not{b}}{c\not{b}}</math></center>
דוגמא נוספת לסימון כזה היא במקרה של חזקה, למשל
<center>
<math>\frac{a^2}{ab}=\frac{a^\not{2}}{\not{a}{b}}</math></center>
אותם כללי הסימון חלים על איברים נגדיים של חיבור (וחיסור כמובן). למשל
<center><math>
a^2-b-a^2=\not{a^2}-b-\not{a^2}
</math></center>
==קו שבר יחיד==
שברים מורכבים הינם שברים אשר בהם מופיע יותר מקו שבר אחד. לדוגמא <math>\frac{a}{\frac{c}{b}}</math>. מכיוון שמוסכם שפעולת החילוק היא מסובכת יותר מפעולת הכפל. לכן, נעדיף להציג את קו השבר השני כמכפלה במונה או במכנה של הראשון. למעשה, גם בשבר מורכב מאוד, ניתן תמיד להגיע לקו שבר יחיד (אם כי לא תמיד זה כדאי כי לעיתים מספר פעולות החשבון אשר יהיה צריך על מנת להציג את המספר הזה תהיה גדולה מדי).</br>
כיצד, אם-כן ניתן להשיג מטרה זו של הפיכת כל שבר מורכב לקו שבר יחיד? זאת נעשה על ידי הכפלה במספר 1 (אשר אינה משנה את הערך של השבר). פעולה זו נקראת הרחבה. על מנת לבצעה, ראשית נציג את המספר 1 בעזרת ה'''מכנה''' של השבר הפנימי יותר של השבר המורכב. נבצע זאת כך:
<center><math>
\frac{a}{\frac{b}{c}}
</math></br></center>
<center><math>
1=\frac{c}{c}
</math></br></center>
מכאן נקבל ש
<center><math>
\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{\frac{b}{c}}\cdot 1=\frac{a}{\frac{b}{c}}\cdot\frac{c}{c}=
\frac{a\cdot{c}}{\frac{b}{c}\cdot{c}}=\frac{ac}{b}
</math></br></center>
==כינוס אברים==
זהו תהליך שבו מבצעים פעולות פשוטות על איברים "דומים". לאחר שאנו פותחים סוגריים (או במקרים דומים), אנו מקבלים איברים רבים. כל איבר בנוי ממספר, שלו נקרא '''מקדם''', ומהפרמטר שלנו (לרוב a,b,c או x,y,z אך אין הכרח בכך) בחזקה כלשהי. הפעולה של חיבור כל המקדמים של חזקה מסויימת נקראת "כינוס איברים". לרוב, לא ניתן לכנס איברים שאינם מאותה חזקה, אלא במקרים מיוחדים בלבד עליהם נעבור בהמשך.
<center><math>
a+\not{b}+4a+c-\not{b}=5a+c</math></center>
מה שעשינו זה ספרנו כל סוג של אברים ו"כינסנו" אומם יחד.
ניתן עוד דוגמא
<center><math>
\frac{1}{2}a^2+3b^2+2a+b^2+\frac{3}{2}a^2=2a^2+4b^2+2a+b
</math></center>
את הדוגמא לעיל לא ניתן לפשט יותר. נראה בהמשך דוגמאות שבהן ניתן לפשט יותר.
==רבי איבר (פולינומים)==
| 