מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ירון (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 1:
בפרק הקודם, [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|הנגזרת]], למדנו מהי נגזרת וכיצד ניתן למצוא אותה. עתה, נלמד נוסחאות שונות, עבור פונקציות מסויימותמסוימות, החוסכותשחוסכות מאאיתנומאיתנו אתביצוע השימושחישוב ב-lim.מורכב הןבכל מקצרותפעם, ושמקצרות את תהליך החישוב.
=הקדמה=
בפרק הקודם, [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|הנגזרת]], למדנו מהי נגזרת וכיצד ניתן למצוא אותה. עתה, נלמד נוסחאות שונות, עבור פונקציות מסויימות, החוסכות מאאיתנו את השימוש ב-lim. הן מקצרות את תהליך החישוב.
 
נזכיר: את הנגזרות נמצא באמצעות חישוב ערך המשיק <math>\ m=\frac{y-y_0}{x-x_0}</math> כאשר הנקודה <math>\ (x,y)</math> מתקרבת לנקודה <math>\ (x_0,y_x)</math>.
==מדוע הינו צריכים ללמוד על ה-lim?==
ה-lim הינה השיטה הבססית ביותר, בכל פעם בו מתגלה פונקציה חדשה לה אין אנו יודעים כיצד למצוא את הנגזרת, נחזור אל נוסחאת האם (ה-lim) ונגלה את הנגזרת. במילים אחרות, ככל שתעלה הרמה, כך, תתקלו יותר במושג "lim". כמו גם, בכדי להוכיח את כל אחת מהנוסחאות הנלמדות, נעזרת ב-lim.
 
בדף זה נשתמש בסימון הבא: את נגזרת הפונקציה <math>\ f(x)</math> נסמן כך: <math>\ (f(x))'=..</math>. דוגמה: <math>\ (mx+n)'=m</math> (יוכח בהמשך).
==כללי הגזירה==
 
אלו נוסחאות בהן נשתמש עבור כלל הפונקציות הקיימות. הפונקציות האלו נוצרו מפעולת חשבון בין פונקציות. הנוסחאות :
== רשימת נגזרות ==
* '''פונקציה קבועה''': <math>\ y=c</math>
*: הנגזרת: <math>\ (c)'=0</math>. הנגזרת של פונקציה קבועה היא לעולם אפס!
*: אינטואיציה: פונקציה קבועה היא פונקציה שערך ה-<math>\ y</math> שלה לא תלוי ב-<math>\ x</math> (הוא תמיד c). זהו קו ישר אופקי, ושיפועו של קו כזה הוא אפס (בכל מקום). ניתן לראות זאת מחישוב השיפוע: <math>\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{c-c}{x_2-x_1}=0</math>.
 
* '''קו ישר''': <math>\ y=ax+b</math>
*: הנגזרת: <math>\ (ax+b)'=a</math>. הנגזרת של קו ישר (פונקציה ליניארית) היא קבועה - <math>\ a</math>. ערכה, לא במפתיע, שווה לשיפוע הישר. נשים לב שערך זה לא תלוי בקבוע <math>\ b</math>.
*: הערה: נשים לב שהביטוי שקיבלנו מתאים לכלל הנגזרת הראשון: פונקציה קבועה היא מקרה פרטי של ישר בו <math>\ a=0</math>, ואכן, ערך הנגזרת שקיבלנו כאן הוא <math>\ a</math>, כלומר אפס, בדיוק כמו שקיבלנו קודם.
 
* '''חזקה''': <math>\ y=x^n</math>
*: הנגזרת: <math>\ (x^n)'=nx^{n-1}</math>.
*: הערה: נשים לב שביטוי זה מתאים לביטוי שמצאנו קודם לכן. קו ישר מהצורה <math>\ y=x</math> (כלומר בעל הפרמטרים <math>\ a=1, b=0</math>) הוא מקרה פרטי של פולינום שעבורו n=1. לפי הכלל, הנגזרת היא <math> (x)'=(x^1)'=1 \cdot x^0=1 \cdot 1 = 1</math>, בדיוק כמו <math>\ a</math>.
 
* '''שורש ריבועי''': <math>\ y=\sqrt{x}</math>
*: הנגזרת: <math>\ (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>.
*: הערה: ניתן לחשב זאת באמצעות הנוסחה הקודמת: הוצאת שורש ריבועי שקולה להעלאה בחזקת חצי: <math>\ \sqrt{x}=x^{1/2}</math>. לכן, מתוך הכלל: <math>\ (\sqrt{x})'=(x^{1/2})'=\frac{1}{2} \cdot x^{-1/2}=\frac{1}{2 \cdot x^{1/2}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}</math>
 
* '''פונקצית הופכי''': <math>\ y=1/x</math>
*: הנגזרת: <math>\ (\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}</math>.
*: הערה: ניתן לחשב גם את הנוסחה הזו באמצעות הנוסחה עבור חזקה: <math>\ (\frac{1}{x})'=(x^{-1})'=(-1)\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}</math>.
 
* '''סינוס''': <math>\ y=sin x</math>
*: הנגזרת: <math>\ (sin x)'=cos x</math>
 
* ''''קוסינוס''': <math>\ y=cos x</math>
*: הנגזרת: <math>\ (cos x)'=-sin x</math>
 
*פונקציה המוכפלת במספר קבועה.
*סכום פונקציות.
*הפרש פונקציות.
*מכפלה
*מנה
*מורכבת
==הפונקציה הנגזרת==
אלו נוסחאות עבור פונקציות ספציפיות עליהן נלמד בהמשך.
*פונקצית חזקה
*פונקציה רציונאלית
*פונקצית שורש
*פונקצית טריגונומטרית
 
=נגזרות =
==[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית חזקה|פונקצית חזקה]] ==
*'''נוסחאת גזירה : ''' <math>(X^n)'= nx^{n-1}</math>
*'''דוגמא :''' <math>(x^3)'=3x^{(3-1)}=3x^2</math>
 
להוכחה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/הוכחות|לחץ כאן]].
 
===פונקציה המוכפלת במספר קבועה===