|
*: הנגזרת: <math>\ (cos x)'=-sin x</math>
== כללי נגזרות ==
* '''סכום של פונקציות''': בהינתן שתי פונקציות, <math>\ f(x)</math> ו-<math>\ g(x)</math>, הנגזרת של סכומן היא:
*: <math>\ [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)</math>.
*: כלומר, נגזרת הסכום היא סכום הנגזרות. באופן דומה, הנגזרת של הפרש של שתי פונקציות היא הפרש הנגזרות של הפונקציות: <math>\ [f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)</math>.
* '''הכפלה בקבוע''': בהינתן פונקציה <math>\ f(x)</math> וקבוע <math>\ c</math> (מספר שלא תלוי ב-<math>\ x</math>), הנגזרת של מכפלת הקבוע בפונקציה היא:
*: <math>\ [cf(x)]\=cf'(x)</math>
*: כלומר, ניתן לגזור את הפונקציה ללא הקבוע, ואז להכפיל חזרה בקבוע.
* '''נגזרת של מכפלה''': בהינתן שתי פונקציות <math>\ f(x)</math> ו-<math>\ g(x)</math>, הנגזרת של מכפלתן היא:
*: <math>\ [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</math>
*: כלומר, יש לגזור את הפונקציה הראשונה, ולהכפיל בשנייה, ולהוסיף לזה את הפונקציה הראשונה מוכפלת בנגזרת הפונקצייה השנייה.
* '''נגזרת של מנה''': בהינתן שתי פונקציות <math>\ f(x)</math> ו-<math>\ g(x)</math>, הנגזרת של המנה שלהן היא:
*: <math>\ [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}</math>
* '''פונקציה מורכבת''': תחילה נסביר מהי פונקציה מורכבת. פונקציה מורכבת היא פונקציה המורכבת למעשה משתי פונקציות. כך, לוקחים את ערך ה-<math>\ x</math> בו אנו מעוניינים, מציבים אותו בפונקציה הראשונה, ואת התוצאה שקיבלנו מציבים בפונקציה השנייה. אם נסמן את הפונקציה הראשונה <math>\ h=g(x)</math> ואת השנייה <math>\ f(x)</math> נקבל שהפונקציה הכוללת היא: <math>\ y=f(g(x))=f(h)</math>.
===פונקציה המוכפלת במספר קבועה===
*: הנגזרת: <math>\ [f(g(x))]'=f'(h)g'(x)</math>.
זוהי הינה פונקציה המוכפלת במספר קבוע (כמו למשל 3x, 2x וכדומה). כיוון שנעלם הפונקציה הוא בחזקה אחת, הנגזרת שתתקבל תהיה המספר הקבוע. <br />
*: זהו הכלל המורכב מבין כולם. מומלץ לראות דוגמאות של יישומו בהמשך.
'''נוסחאת גזירה : ''' <math>[kf(x)]'=kf(x)'</math>
'''דוגמא :'''<math>(2x)'=2x^{(1-1)}=2*1=2</math>
===סיכום===
כאשר יש לנו [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית חזקה|פונקצית חזקה]], נוסחאת הגזירה תיהיה : <math>ax^n=nax^{n-1}</math>
==סכום פונקציות==
כאשר נרצה למצוא נגזרת עבור פונקציה שנוצרת מחיבור פונקציות.
*'''נוסחאת גזירה : ''' <math>[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)</math>
*'''דוגמא :''' נתונה הפונקציה הבאה : <math>h(x)=2x^2+2</math>. פונקציה זו מורכבת למעשה משתי פונקציות :
* פונקציה ראשונה : <math>f(x)=2x^2</math>
*פונקציה שנייה : <math>g(x) = 3</math>
בכדי למצוא את נגזרת נמצא את הנגזרת של כל אחת משתי הפונקציות ונחבר אותן :
* נגזרת של פונקציה ראשונה : <math>f(x)'=4x</math>
* נגזרת של פונקציה שנייה : <math>g(x)'=0</math>
* נגזרת של פונקציה שלישית : <math>h(x)=4x</math>
כמובן, שבפועל אין צורך לחלק את הנגזרת למספר הפונקציות קיימות בה, אלא, לעשות את הפועל ישר, עבור כל הפונקציות.
להוכחה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/הוכחות|לחץ כאן]]
==הפרש פונקציות==
כאשר נרצה למצוא נגזרת עבור פונקציה שנוצרת מחיסור פונקציות.<br />
'''נוסחאת גזירה : '''<math>[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)</math>
*'''דוגמא :'''נתונה הפונקציה הבאה : <math>h(x)=3x^2-5x</math>. פונקציה זו מורכבת למעשה משתי פונקציות :
** פונקציה ראשונה : <math>f(x)=3x^2</math>
**פונקציה שנייה : <math>g(x) = 5x</math>
בדומה לסכום פונקציות, נבצע את אותה פעולה, כשההבדל היחידי הוא הפעולה המתבצעת בין הנגזרות (חיסור במקום חיבור). כלומר :
* נגזרת של פונקציה ראשונה : <math>f(x)'=6x</math>
* נגזרת של פונקציה שנייה : <math>g(x)'=5</math>
* נגזרת של פונקציה שלישית : <math>h(x)=6x-5</math>
להוכחה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/הוכחות|לחץ כאן]]
==מכפלה ==
כאשר נרצה למצוא נגזרת עבור פונקציה שנוצרת ממכפלה של פונקציות.<br />
'''נוסחאת גזירה : ''' <math>[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+f(x)*g(x)'</math>
'''דוגמא :'''
* פונקציות :
** פונקציה ראשונה : <math>f(x)=x^2</math>.
** פונקציה שנייה : <math>g(x)=2x</math>
** פונקציה שלישית : <math>h(x)=x^2*2x</math>
* נגזרת :
** נגזרת ראשונה : <math>f(x)'=2x</math>
** נגזרת שנייה :<math>g(x)'=2</math>
**נגזרת שלישית : <math>h(x)=2x*2x+2*x^2=4x^2+2x^2=6x^2</math>
להוכחה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/הוכחות|לחץ כאן]]
==מנה ==
כאשר נרצה למצוא נגזרת עבור פונקציה שנוצרת ממנה (בעקבות פעולת חילוק) של פונקציות.<br />
'''נוסחאת גזירה : '''<math>[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f(x)'*g(x)-f(x)*g(x)'}{[g(x)]^2}</math>
'''דוגמא :'''
*פונקציה : <math>g(x)=\frac{5}{x^3}</math>
* גזירה : <math>g(x)=\frac{0*x^3-3x^2*5}{x^6}=\frac{15x^2}{x^6}=\frac{-15}{x^4}</math>
להוכחה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/הוכחות|לחץ כאן]]
===פונקציה רציונאלית ===
'''פונקציה :''' פונקצית שבר - על הפונקציה בהרחבה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה רציונלית|לחץ כאן]]. <br />
נוסחאת הגזירה נגזרת מנוסחאת המנה.
*'''נוסחאת גזירה : ''' <math>[\frac{a}{f(x)}]'={\frac{-af(x)'}{[f(x)]^2}}</math>
*'''דוגמא :''' הנגזרת של הפונקציה <math>g(x)=\frac{5}{x^3}</math>, היא : <math>g(x)'=\frac{-5*3x^2}{x^6}=\frac{-15x^2}{x^6}=\frac{-15}{x^4}</math>
==מורכבת ==
===הסבר===
פונקציה הנוצרת מהצבה ; פונקציה מורכבת היא פונקציה הבנויה מפונקציה פנימית ופונקציה חיצונית. הפונקציה הפנימית מוצבת בפונקציה החיצונית. למשל :
נתונות שתי פונקציות :
* פונקציה ראשונה : <math>u(x)=2x+1</math>
* פונקציה שנייה : <math>v(u)=h^3</math>
הפונקציה מורכבת תהיה הפונקציה שתיווצר מהצבת אחת הפונקציה בשנייה, במקרה שלנו, ניתן להציב את <math>u(x)</math> בפונקציה <math>v(u)</math>. כלומר :
* <math>g(x)= [u(x)]^3</math>
* נציב את u : * <math>g(x) = [2x+3]^3 </math>
===כלל הגזירה===
*'''נוסחאת גזירה :''' <math>f(x)'= v'(u)*u'(v)'</math>
*'''דוגמא :'''
* הפונקציות :
** u - פונקציה ראשונה : <math>u(x)=(4x+4)</math>
** v - פונקציה שנייה : <math>v(u)=u^2</math>
** הפונקציה שהתקבלה : <math>g(x)=(4x+4)^2</math>
* הנגזרת :
** u - נגזרת : <math>u(x)' = 4 </math>
** v - נגזרת (לאחר הצבת u) : <math>v(x)'=2u=2(4x+4)</math>
** הנגזרת של הפונקציה שהתקבלה : <math>g(x)'=(4x+4)^2+4</math>
להוכחה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/הוכחות|לחץ כאן]]
==פונקצית שורש ==
*'''פונקציה :''' פונקציה שיש בה ביטוי הנמצא תחת שורש.
נזכיר כי פונקצית שורש יכולה להפוך לפונקציה רציונאלית או פונקציה המוכפלת במספר קבוע, כאשר נעזרים ב[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון|חוק חזקות]] שבאלגברה האומר כי : <math>\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}</math>
*'''נוסחאת גזירה : ''' <math>\sqrt{f(x)'}=\frac{f(x)'}{2\sqrt{f(x)}}</math>
*'''דוגמא :'''
** הפונקציה : <math>f(x)=\sqrt{2x}</math>
**הנגזרת : <math>f(x)'=\frac{2}{2\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}</math>
להוכחה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן/הוכחות|לחץ כאן]].
=[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציות טריגונומטריות|פונקצית טריגונומטרית]] =
=סיכום =
{{עריכה}}
<table border=1>
<tr bgcolor="lightgrey">
<td></td>
<th><math>\ f(x)</math></th>
<th><math>\ f'(x)</math></th>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td><math>\ f(x)=x^n</math></td>
<td><math>\ f'(x)=nx^{n-1}</math></td>
</tr>
<td>2</td>
<td><math>\ f(x)=uv</math></td>
<td><math>\ f'(x)=u'v+uv'</math></td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td><math>\ f(x)=\frac{u}{v}</math></td>
<td><math>\ f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math></td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td><math>\ f(x)=ku</math></td>
<td><math>\ f'(x)=ku'</math></td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td><math>\!\, f(x)=u+v</math></td>
<td><math>\!\, f'(x)=u'+v'</math></td>
</tr>
</table>
** פונקציה המוכפלת במספר קבועה : <math>[kf(x)]'=kf(x)'</math>
* סכום פונקציות : <math>[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'</math>
* הפרש פונקציות : <math>[f(x)-g(x)]'=f(x)'-g(x)'</math>
* מכפלה : <math>[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+f(x)*g(x)'</math>
* מנה : <math>[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f(x)'*g(x)-f(x)*g(x)'}{[g(x)]^2}</math>
* פונקציה רציונאלית : <math>[\frac{a}{f(x)}]'={\frac{-af(x)'}{[f(x)]^2}}</math>
* מורכבת : <math>f(x)'= v'(u)*u'(v)'</math>
* פונקצית שורש : <math>\sqrt{f(x)'}=\frac{f(x)'}{2\sqrt{f(x)}}</math>
[[קטגוריה : מתמטיקה לתיכון]]
| 