מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
דרורק (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
דרורק (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 6:
*פרק שלישי: [[אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/הטרינום|הטרינום]]
*פרק רביעי: [[אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/דוגמאות ושימושים נוספים|דוגמאות ושימושים נוספים]]
*[[אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/תרגילים|תרגילים נוספים]]
===פירוק טרינום ריבועי לגורמים===
סעיף זה מדבר על פעולה הנקראת פירוק טרינום ריבועי לגורמים. טרינום ריבועי הינו רב-איבר מהצורה
<center>
<math>
a\cdot{x^2}+b\cdot{x}+c
</math>
</center>
כאשר <math>a\neq{0}</math>. נתחיל בפירוק לגורמים כאשר <math>a=1</math>. אנו מעוניינים למצוא מכפלה של שני בינומים (דו-איברים, או פולינומים שבהם שני איברים בלבד) אשר תוצאתה הסופית היא הטרינום הנתון. ניקח למשל את הטרינום
<center>
<math>
x^2-3\cdot{x}-10
</math>
</center>
מכיוון שיצרנו אותו לשם הדוגמא, אנו כבר יודעים שהטרינום הזה הוא תוצר של המכפלה להלן.
<center>
<math>
\left(x+2\right)\cdot\left(x-5\right)
</math>
</center>
כל אחד מהסוגריים הוא '''גורם''' אחד במכפלה, ומכיוון שהחזקה הגדולה בכל אחד מהגורמים היא 1 לא ניתן להמשיך ולפרק אותם.
כאשר אנו ניצבים בפני הטרינום הפתוח, לנחש מה היו הגורמים אשר הביאו ליצירתו זו פעולה קשה. על-כן, אנו מחפשים שיטה פשוטה אשר בהנתן הטרינום הפתוח, נוכל למצוא את גורמיו ללא צורך בניחוש. על מנת להבין את ההגיון העומד מאחורי שיטה זו נתבונן בפתיחת הסוגריים שהביאה ליצירת הטרינום במקור.
<center>
<math>
\left(x+2\right)\cdot\left(x-5\right)=x\cdot\left(x-5\right)+2\cdot\left(x-5\right)=
</math></br>
<math>
=\underbrace{x^2-5\cdot{x}+2\cdot{x}-2\cdot{5}}=\left(x+2\right)\cdot\left(x-5\right)
</math>
</br>
<math>
\left(*\right)
</math>
</center>
נתבונן בביטוי המסומן ב-(*). על מנת לחזור חזרה מפעולות פתיחת הסוגריים, אנו נשים לב לעובדה ש
<math>\left(-10\right)=\left(-5\right)\cdot{2}</math>
וגם ש
<math>\left(-3\right)=\left(-5\right)+2</math>.
ואנו גם יודעים שעל מנת לחזור חזרה לביטוי המקורי, חסרים לנו המספרים
<math>\left(-5\right)</math>
וגם
<math>\left(2\right)</math>
כך שלמעשה, אנו רואים שמספרים אלו מופיעים בשלב האחרון לפני כינוס האיברים אשר מוביל ליצירת הטרינום. כאשר אנו מקבלים את הטרינום בצורתו המוגמרת, עלינו למצוא שילוב אשר יקיים את אותן התכונות אשר אנו רואים לעיל.</br>
כעת נתאר באופן מדוייק את סדר הפעולות הדרוש לפתרון הבעיה ונדגים כל שלב על טרינום הדוגמא שלנו.</br>
ראשית, נרשום את כל המכפלות של '''שני''' מספרים אשר נותנות את האיבר החופשי (במקרה שלנו
<math>\left(-10\right)</math>
).
 
<center>
{| border=1
|-
| <math>\beta</math> || <math>\alpha</math>
|-
| <math>\left(10\right)</math> || <math>\left(-1\right)</math>
|-
| <math>\left(-10\right)</math> || <math>\left(1\right)</math>
|-
| <math>\left(5\right)</math> || <math>\left(-2\right)</math>
|-
| <math>\left(-5\right)</math> || <math>\left(2\right)</math>
|}
</center>
שנית, נחפש זוג (אשר מופיע בשורה) אשר סכום המספרים בו הוא
<math>\left(-3\right)</math>
כי זהו המקדם של האיבר בו x מופיע ללא חזקה, והוא זה שעבורו מחפשים את הסכום.
ניתן דוגמא נוספת. הפעם ניקח את הטרינום
<math>x^2-20\cdot{x}+99</math>.
כאן המספרים יותר גדולים ולכן יקשה עלינו לנסות לנחש את הפתרון. נשתמש בסדר הפעולות שקבענו קודם. עלינו ראשית לפרק את 99 לגורמים.
<center>
{| border=1
|-
| <math>\beta</math> || <math>\alpha</math>
|-
| <math>\left(1\right)</math> || <math>\left(99\right)</math>
|-
| <math>\left(-1\right)</math> || <math>\left(-99\right)</math>
|-
| <math>\left(3\right)</math> || <math>\left(33\right)</math>
|-
| <math>\left(-3\right)</math> || <math>\left(-33\right)</math>
|-
| <math>\left(9\right)</math> || <math>\left(11\right)</math>
|-
| <math>\left(-9\right)</math> || <math>\left(-11\right)</math>
|}
</center>
כעת נסכם וננסה לקבל
<math>\left(-20\right)</math>.
הזוג היחיד שמתאים הוא הזוג שבשורה האחרונה. לכן זה הזוג הנכון, והתשובה המתקבלת היא ש
<center>
<math>
x^2-20\cdot{x}+99=\left(x-9\right)\cdot\left(x-11\right)
</math>
</center>
כפי שנדרש.</br>
נזכר כי עדיין לא פתרנו את הבעיה עבור טרינום אשר בו המקדם של <math>x^2</math> כלומר <math>a\neq{1}</math>. במקרה זה עלינו להוציא אותו מחוץ לסוגריים לכל הטרינום ולהמשיך את הפעולות כרגיל על הטרינום בתוך הסוגריים. מקבלים במקרה זה
<center>
<math>a\cdot\left({x}^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)</math>
</center>
במקרה הכללי הפירוק של <math>c</math> לא יתן תשובה אשר סכומה הוא באמת <math>b</math> והפעולה תיכשל. במקרה זה עדיין לעיתים ניתן לפרק טרינום זה אך נושא זה קשור לנושא אחר, אשר בו נידון שוב בפרק [[משוואות]] והוא נקרא נוסחאות וייטה.
 
===*רב איבר בשני משתנים או יותר===
סעיף זה הוא להרחבה בלבד ואינו הכרחי להמשך הלימודים בנושא זה ואיננו חלק מחומר הלימוד למיטב ידיעת מחברי ספר זה.
כפי שזכור כבר הגדרנו רב-איבר כללי אם כי הצגנו צורה כללית לרב-איבר רק מהצורה של רב-איבר במשתנה אחד.
רב-איבר בשני משתנים הוא ביטוי מהצורה
<center><math>
p\left(x,y\right)=
a_{n,m}x^{n}y^{m}+a_{n-1,m}x^{n-1}y^m\cdots+
a_{n,m-1}x^{n}y^{m-1}+a_{n-1,m-1}x^{n-1}y^{\left(m-1\right)}+\cdots
+a_{0}
</math></center>
באותו אופן מגדירים גם רבי-איבר עם כל מספר של משתנים.
 
=דוגמאות ושימושים=
=תרגילים=
==פעולות כלליות==
הבא לצורה הפשוטה ביותר (ללא שימוש במחשבון)
#<math>
\left(
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2
\right)
</math>
#<math>
\left(
1^2-2^2+3^2-4^2+5^2
\right)
</math>
#<math>
1-\left(2-\left(3-\left(4-\left(5-6\right)\right)\right)\right)
</math>
#<math>
a-\left(b-\left(c-\left(d-\left(e-f\right)\right)\right)\right)
</math>
#<math>\
a+2b-c-5b+2c
</math>
#<math>
2\cdot{a_1}-5\cdot{a_2}+a_1+11\cdot{a_2}-2\cdot{a_1}+a_3
</math>
#<math>
\frac{1}{2}\cdot{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot{6}\cdot\frac{7}{8}\cdot{9}
</math>
#<math>
\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}-\frac{5}{2}}
</math>
#<math>
\frac{\frac{\frac{1}{2}}{3}}{4}
</math>
 
==פעולות בפולינומים==
===פתיחת סוגריים===
פתח את הסוגריים בביטויים הבאים וכנס אברים עד לקבלת הפולינום בצורתו הסטנדרטית.
#<math>
\left(x+8\right)\cdot\left(x+11\right)\cdot\left(x+2\right)\cdot\left(x-10\right)</math>
#<math>
\left(x+11\right)\cdot\left(x+17\right)</math>
#<math>
\left(x+2\right)\cdot\left(x+15\right)</math>
#<math>
\left(x+15\right)\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x-3\right)</math>
#<math>
\left(x-8\right)\cdot\left(x+4\right)</math>
#<math>
\left(x-2\right)\cdot\left(x-8\right)</math>
#<math>
\left(x-3\right)\cdot\left(x-17\right)\cdot\left(x-6\right)</math>
#<math>
\left(x-14\right)\cdot\left(x+17\right)\cdot\left(x+4\right)\cdot\left(x-2\right)</math>
#<math>
\left(x+9\right)\cdot\left(x+12\right)\cdot\left(x+23\right)</math>
#<math>
\left(x-12\right)\cdot\left(x+1\right)</math>
#<math>
\left(x-2\right)\cdot\left(x-13\right)\cdot\left(x-5\right)\cdot\left(x+21\right)</math>
#<math>
\left(x+0\right)\cdot\left(x+9\right)\cdot\left(x+2\right)</math>
#<math>
\left(x+4\right)\cdot\left(x-12\right)\cdot\left(x-18\right)</math>
#<math>
\left(x+20\right)\cdot\left(x-11\right)</math>
#<math>
\left(x+18\right)\cdot\left(x-25\right)</math>
#<math>
\left(x+3\right)\cdot\left(x+13\right)\cdot\left(x+9\right)</math>
#<math>
\left(x+24\right)\cdot\left(x+7\right)</math>
#<math>
\left(x+14\right)\cdot\left(x-13\right)</math>
#<math>
\left(x+14\right)\cdot\left(x+20\right)</math>
#<math>
\left(x-8\right)\cdot\left(x-24\right)\cdot\left(x+22\right)</math>
#<math>
\left(x-23\right)\cdot\left(x-19\right)</math>
#<math>
\left(x+16\right)\cdot\left(x-10\right)\cdot\left(x+14\right)</math>
#<math>
\left(x+4\right)\cdot\left(x+6\right)\cdot\left(x-8\right)\cdot\left(x+22\right)</math>
#<math>
\left(x+0\right)\cdot\left(x-16\right)</math>
#<math>
\left(x+22\right)\cdot\left(x-22\right)</math>
#<math>
\left(x+8\right)\cdot\left(x-6\right)\cdot\left(x-1\right)</math>
#<math>
\left(x+4\right)\cdot\left(x-22\right)</math>
#<math>
\left(x-17\right)\cdot\left(x-10\right)</math>
#<math>
\left(x-2\right)\cdot\left(x-7\right)\cdot\left(x+20\right)\cdot\left(x+21\right)</math>
#<math>
\left(x-20\right)\cdot\left(x+4\right)</math>
===תשובות===
#<math>
x^{4}+11\cdot x^{3}-64\cdot x^{2}-1084\cdot x-1760</math>
#<math>
\cdot x^{2}+28\cdot x+187</math>
#<math>
\cdot x^{2}+17\cdot x+30</math>
#<math>
\cdot x^{3}+13\cdot x^{2}-33\cdot x-45</math>
#<math>
\cdot x^{2}-4\cdot x-32</math>
#<math>
\cdot x^{2}-10\cdot x+16</math>
#<math>
\cdot x^{3}-26\cdot x^{2}+171\cdot x-306</math>
#<math>
x^{4}+5\cdot x^{3}-232\cdot x^{2}-500\cdot x+1904</math>
#<math>
\cdot x^{3}+44\cdot x^{2}+591\cdot x+2484</math>
#<math>
\cdot x^{2}-11\cdot x-12</math>
#<math>
x^{4}+1\cdot x^{3}-214\cdot x^{2}+1991\cdot x-2730</math>
#<math>
\cdot x^{3}+11\cdot x^{2}+18\cdot x</math>
#<math>
\cdot x^{3}-26\cdot x^{2}+96\cdot x+864</math>
#<math>
\cdot x^{2}+9\cdot x-220</math>
#<math>
\cdot x^{2}-7\cdot x-450</math>
#<math>
\cdot x^{3}+25\cdot x^{2}+183\cdot x+351</math>
#<math>
\cdot x^{2}+31\cdot x+168</math>
#<math>
\cdot x^{2}+1\cdot x-182</math>
#<math>
\cdot x^{2}+34\cdot x+280</math>
#<math>
\cdot x^{3}-10\cdot x^{2}-512\cdot x+4224</math>
#<math>
\cdot x^{2}-42\cdot x+437</math>
#<math>
\cdot x^{3}+20\cdot x^{2}-76\cdot x-2240</math>
#<math>
x^{4}+24\cdot x^{3}+164\cdot x^{2}-1424\cdot x-4224</math>
#<math>
\cdot x^{2}-16\cdot x</math>
#<math>
\cdot x^{2}-484</math>
#<math>
\cdot x^{3}+1\cdot x^{2}-50\cdot x+48</math>
#<math>
\cdot x^{2}-18\cdot x-88</math>
#<math>
\cdot x^{2}-27\cdot x+170</math>
#<math>
x^{4}+32\cdot x^{3}-355\cdot x^{2}-3206\cdot x+5880</math>
#<math>
\cdot x^{2}-16\cdot x-80</math>
===נוסחאות הכפל המקוצר===
פתח סוגריים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר וכנס אברים עד לקבלת פולינום בצורתו הסטנדרטית.
#<math>
{\left(c+8\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(k-10\right)}^{3}</math>
#<math>
{\left(y+11\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(c-4\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(n+15\right)}^{3}</math>
#<math>
{\left(b+1\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(l-3\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(e-7\right)}^{3}</math>
#<math>
{\left(m+7\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(k-2\right)}^{3}</math>
#<math>
{\left(w+4\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(r-17\right)}^{3}</math>
#<math>
{\left(l+18\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(x+17\right)}^{3}</math>
#<math>
{\left(j-4\right)}^{3}</math>
#<math>
{\left(y+12\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(n-10\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(f+1\right)}^{3}</math>
#<math>
{\left(m-19\right)}^{3}</math>
#<math>
{\left(g-5\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(j-20\right)}^{3}</math>
#<math>
{\left(f+2\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(n+21\right)}^{3}</math>
#<math>
{\left(u-18\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(o+7\right)}^{3}</math>
#<math>
{\left(o-8\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(m+18\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(d-17\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(d+13\right)}^{2}</math>
#<math>
{\left(y-24\right)}^{2}</math>
===תשובות===
#<math>
{c}^2+16\cdot{c}+64</math>
#<math>
{k}^3-30\cdot{k}^2+300\cdot{k}-1000</math>
#<math>
{y}^2+22\cdot{y}+121</math>
#<math>
{c}^2-8\cdot{c}+16</math>
#<math>
{n}^3+45\cdot{n}^2+675\cdot{n}+3375</math>
#<math>
{b}^2+2\cdot{b}+1</math>
#<math>
{l}^2-6\cdot{l}+9</math>
#<math>
{e}^3-21\cdot{e}^2+147\cdot{e}-343</math>
#<math>
{m}^2+14\cdot{m}+49</math>
#<math>
{k}^3-6\cdot{k}^2+12\cdot{k}-8</math>
#<math>
{w}^2+8\cdot{w}+16</math>
#<math>
{r}^3-51\cdot{r}^2+867\cdot{r}-4913</math>
#<math>
{l}^2+36\cdot{l}+324</math>
#<math>
{x}^3+51\cdot{x}^2+867\cdot{x}+4913</math>
#<math>
{j}^3-12\cdot{j}^2+48\cdot{j}-64</math>
#<math>
{y}^2+24\cdot{y}+144</math>
#<math>
{n}^2-20\cdot{n}+100</math>
#<math>
{f}^3+3\cdot{f}^2+3\cdot{f}+1</math>
#<math>
{m}^3-57\cdot{m}^2+1083\cdot{m}-6859</math>
#<math>
{g}^2-10\cdot{g}+25</math>
#<math>
{j}^3-60\cdot{j}^2+1200\cdot{j}-8000</math>
#<math>
{f}^2+4\cdot{f}+4</math>
#<math>
{n}^3+63\cdot{n}^2+1323\cdot{n}+9261</math>
#<math>
{u}^2-36\cdot{u}+324</math>
#<math>
{o}^3+21\cdot{o}^2+147\cdot{o}+343</math>
#<math>
{o}^2-16\cdot{o}+64</math>
#<math>
{m}^2+36\cdot{m}+324</math>
#<math>
{d}^2-34\cdot{d}+289</math>
#<math>
{d}^2+26\cdot{d}+169</math>
#<math>
{y}^2-48\cdot{y}+576</math>
===טרינום ריבועי===
הצג את הטרינום כמכפלת שני בינומים בעזרת פירוק לגורמים או בכל דרך אחרת.
#<math>
\ x^{2}+5{x}-6</math>
#<math>
\ x^{2}+8{x}+12</math>
#<math>
\ x^{2}-6{x}-40</math>
#<math>
\ x^{2}-16{x}+55</math>
#<math>
\ x^{2}-18{x}+80</math>
#<math>
\ x^{2}-7{x}+12</math>
#<math>
\ x^{2}-3{x}-40</math>
#<math>
\ x^{2}-11{x}+28</math>
#<math>
\ x^{2}+8{x}-9</math>
#<math>
\ x^{2}-20{x}+99</math>
#<math>
\ x^{2}+7{x}-30</math>
#<math>
\ x^{2}-12{x}+35</math>
#<math>
\ x^{2}-1{x}-110</math>
#<math>
\ x^{2}+2{x}-80</math>
#<math>
\ x^{2}+17{x}+70</math>
#<math>
\ x^{2}+2{x}-3</math>
#<math>
\ x^{2}-6{x}+8</math>
#<math>
\ x^{2}-7{x}+12</math>
#<math>
\ x^{2}+1{x}-2</math>
#<math>
\ x^{2}+6{x}-40</math>
#<math>
\ x^{2}-6{x}-40</math>
#<math>
\ x^{2}-1{x}-110</math>
#<math>
\ x^{2}+2{x}-63</math>
#<math>
\ x^{2}-9{x}+20</math>
#<math>
\ x^{2}+3{x}-40</math>
#<math>
\ x^{2}-7{x}-18</math>
#<math>
\ x^{2}+13{x}+42</math>
#<math>
\ x^{2}-25</math>
#<math>
\ x^{2}+1{x}-20</math>
#<math>
\ x^{2}+8{x}+16</math>
===תשובות===
#<math>
\left(x+6\right)\cdot\left(x-1\right)</math>
#<math>
\left(x+6\right)\cdot\left(x+2\right)</math>
#<math>
\left(x-10\right)\cdot\left(x+4\right)</math>
#<math>
\left(x-11\right)\cdot\left(x-5\right)</math>
#<math>
\left(x-8\right)\cdot\left(x-10\right)</math>
#<math>
\left(x-3\right)\cdot\left(x-4\right)</math>
#<math>
\left(x+5\right)\cdot\left(x-8\right)</math>
#<math>
\left(x-4\right)\cdot\left(x-7\right)</math>
#<math>
\left(x+9\right)\cdot\left(x-1\right)</math>
#<math>
\left(x-9\right)\cdot\left(x-11\right)</math>
#<math>
\left(x+10\right)\cdot\left(x-3\right)</math>
#<math>
\left(x-7\right)\cdot\left(x-5\right)</math>
#<math>
\left(x-11\right)\cdot\left(x+10\right)</math>
#<math>
\left(x-8\right)\cdot\left(x+10\right)</math>
#<math>
\left(x+10\right)\cdot\left(x+7\right)</math>
#<math>
\left(x-1\right)\cdot\left(x+3\right)</math>
#<math>
\left(x-4\right)\cdot\left(x-2\right)</math>
#<math>
\left(x-4\right)\cdot\left(x-3\right)</math>
#<math>
\left(x+2\right)\cdot\left(x-1\right)</math>
#<math>
\left(x-4\right)\cdot\left(x+10\right)</math>
#<math>
\left(x+4\right)\cdot\left(x-10\right)</math>
#<math>
\left(x-11\right)\cdot\left(x+10\right)</math>
#<math>
\left(x-7\right)\cdot\left(x+9\right)</math>
#<math>
\left(x-4\right)\cdot\left(x-5\right)</math>
#<math>
\left(x+8\right)\cdot\left(x-5\right)</math>
#<math>
\left(x+2\right)\cdot\left(x-9\right)</math>
#<math>
\left(x+7\right)\cdot\left(x+6\right)</math>
#<math>
\left(x-5\right)\cdot\left(x+5\right)</math>
#<math>
\left(x+5\right)\cdot\left(x-4\right)</math>
#<math>
\left(x+4\right)\cdot\left(x+4\right)</math>
 
==תרגילי חזרה על פרק זה ופרק קודם==