|
==רבי איבר (פולינומים)==
'''הגדרה''': רב איבר (פולינום) הינו סכום של אברים אשר כל אחד מהם מורכב ממקדם המכפיל אותו ומחזקה של אחד או יותר משתנים.</br>
במקרה הפרטי שלרוב יעניין אותנו, רב-אבר של משתנה יחיד הוא ביטוי מהצורה
</math></center>
===דרגה של פולינום===
'''הגדרה''': הדרגה של הפולינום הינה הערך הגדול ביותר של מעריך החזקה של איבר כלשהו בפולינום עם מקדם שונה מאפס. </br>למשל בדוגמא לעיל של רב-איבר במשתנה יחיד, דרגת הפולינום הינה 3. גם מספר קבוע הוא פולינום אשר דרגתו 0 (מדוע?).
פולינום אשר בו יש רק איבר אחד יקרא '''מונום''' ואילו פולינום אשר בו 2, '''בינום'''. פולינום בו 3 אברים יקרא '''טרינום''' וכך הלאה.
===פתיחת סוגריים===
פתיחת סוגריים וקיבוץ איברים הינן פעולות שגרתיות אשר כל תלמיד מתמטיקה ומקצועות מדעיים אחרים יתקל בהן. פתיחת סוגריים הינו תהליך שבו אנו כופלים שני ביטויים (או יותר) הנמצאים בתוך סוגריים, ומקבלים ביטוי אשר בו מספר הסוגריים קטן. בתהליך אנו משתמשים בחוק הפילוג וחוק הקיבוץ מ[[אלגברה/חוקי החשבון|חוקי החשבון]]. את הפעולה אנו מבצעים לפי הסדר, כאשר כל איבר הנמצא בסוגר אחד כופל איבר הנמצא בסוגר שני פעם אחת בדיוק. על מנת להמנע מטעויות לפחות בתחילת דרכיכם, ניתן לפרק את הפעולה בצורה הבאה: למשל אם נרצה לכפול את <math>\left(a+b\right)</math> ב- <math>\left(c+d\right)</math> נקבל
<center>
<math>
\left(a+b\right)\cdot\left(c+d\right)=
a\left(c+d\right)+b\left(c+d\right)=
ac+ad+bc+bd
</math>
</center>
דוגמאות נוספות:
<center>
<math>
\left(x+1\right)\left(x-6\right)=x\cdot\left(x-6\right)+1\cdot\left(x-6\right)=
x^2-6x+x-6=x^2-5x-6
</math></br>
<math>
\left(a+b\right)^{2}=\left(a+b\right)\cdot\left(a+b\right)=a\cdot\left(a+b\right)+b\cdot\left(a+b\right)=
a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2
</math></br>
</center>
תלמידים רבים טועים כאשר מנסים לבצע תרגיל זה וכותבים (בטעות) את הפסוק הבא
<center>
<math>
\left(a+b\right)^2=a^2+b^2
</math>
</center>
זוהי טעות שכן החזקה '''איננה ניתנת לפילוג לפעולות חיבור'''. פילוג בחזקה ניתן לבצע רק בכפל. מכאן גם נובעת מסקנה נוספת, והיא שגם שורשים לא ניתן לפלג, שכן אף הם חזקות, מה שלא מונע מתלמידים רבים לטעות גם כאן ולכתוב ש
<center><math>
\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}
</math></center>
שאף זוהי טעות. זוהי פתיחת סוגריים בלתי חוקית. ניתן להשתמש אך ורק בחוקי החשבון הידועים לנו מפרק קודם על מנת לפתוח סוגריים.
דוגמא נוספת:
<center>
<math>
\left(a+b+c+d\right)\cdot\left(e+f\right)=\left(a+b+c+d\right)\cdot{e}+\left(a+b+c+d\right)\cdot{f}=
ae+be+ce+de+af+bf+cf+df
</math>
</center>
פתיחת הסוגר הראשון קודם תביא לביטוי ארוך יותר וסיכוי רב יותר לטעויות.
===הוצאת גורם מחוץ לסוגריים===
פעולה זה הינה פעולה ההפוכה לפעולת פתיחת סוגריים שכופלים איבר יחיד. הוצאת גורם מחוץ לסוגריים משתמשת בחוק בפילוג והיא מתבצעת לרוב ישירות ממנו. לדוגמא
<center>
<math>
ac+ab=a\left(c+b\right)
</math>
</center>
ניתן אך להוציא איבר מחוץ לסוגריים גם אם איננו מופיע בהם בצורה מפורשת על ידי כך שמחלקים בו. ניתן לעשות זאת באופן הבא
<center>
<math>
ac+b=c\left(a+\frac{b}{c}\right)
</math>
</center>
צורה זו הינה נדירה יותר, אך אף היא שימושית מדי פעם.
===נוסחאות הכפל המקוצר===
נוסחאות אלו הינן נוסחאות אשר מאפשרות לפתוח סוגריים (או לקבץ איברים) של ביטויים נפוצים במהירות וללא טעויות. נוסחאות אלו הן (עבור תבניות בחזקה 2)
<center>
<math>\left(a+b\right)^{2}=a^2+2\cdot{a}\cdot{b}+b^2</math></br>
<math>\left(a-b\right)^{2}=a^2-2\cdot{a}\cdot{b}+b^2</math></br>
<math>a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)</math></br>
</center>
ועבור תבניות בחזקה 3
<center>
<math>\left(a+b\right)^{3}=a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3</math></br>
<math>\left(a-b\right)^{3}=a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3</math></br>
<math>a^3-b^3=\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)</math></br>
</center>
כפי שנראה לעיל, התוצאה היא פולינום בשני משתנים וניתן להשתמש בנוסחאות אלו בכל מקרה בו נרצה לפתוח סוגריים ולקבץ איברים.
נוסחאות אלו הינן בעלות חשיבות רבה ומועיל ללמוד אותן בעל פה. במיוחד חשובות הנוסחאות של חזקה 2.
לנוסחאות הכפל המקוצר ישנה גם משמעות גיאומטרית. כדי להווכח במשמעות זו, מומלץ לקוראים לצייר ריבוע אשר בו אורך הצלע הוא <math>\left(a+b\right)</math>. הקורא יוכל להווכח שבתוך הריבוע נוצרים שני ריבועים ושני מלבנים, אשר סכום שטחם מתאים לנוסחאות הכפל המקוצר. כתרגיל, מומלץ לקורא לבצע משימה זו גם עבור הנוסחאות של חזקה 2 וגם עבור נוסחאות של חזקה 3, שם במקום לקבל ריבוע, יש לצייר '''קוביה'''.
<table id=toc width = 75% border = 1 align="center">
| 