הבדלים בין גרסאות בדף "מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה"

ביטול גרסה 72627 של ירון (שיחה)-הועתק מגרסאות ישנות שהיו בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתלמידי תיכון-גרסא ז
(עריכה)
(ביטול גרסה 72627 של ירון (שיחה)-הועתק מגרסאות ישנות שהיו בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתלמידי תיכון-גרסא ז)
'''נגזרת -''' - שיפוע של ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|פונקציה]] שאינה דווקא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה או /לינארית]] (y=mx+n). מסומנת :<math>\ f'(xX)'</math>.
: נזכיר את חשיבות השיפוע/הנגזרת; נעוצההם בכך שהיא מסייעתעוזרים לנו לחקור את פונקציה נתונההפונקציה ולמצוא : [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|תחומי עלייה וירידה]] של הפונקציה (תחומים בהם הפונקציה עולה ותחומים בהם היא יורדת), [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודות קיצון]] ועוד.
 
'''נקודת ההשקה -''' נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה כ : (a,b).
משמעותה הגיאומטרית של נגזרתה של פונקציה בנקודה היא שיפוע המשיק של הפונקציה באותה נקודה. משיק לפונקציה הוא קו ישר שנוגע ("נושק") לפונקציה באותה נקודה, אך לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר. שיפועו של המשיק בנקודה מסוימת נקרא נגזרת הפונקציה בנקודה.
[[קובץ:Linear function.JPG|left|thumb|100px|קו ישר. בכל הנקודות שיפוע המשיק זהה.]]
[[קובץ:Tangent as Secant Limit.svg|left|thumb|200px|בפרבולה, למשל, ניתן להעביר מספר משיקים]]
[[קובץ:Quadratic_function.JPG|left|thumb|150px|]
ניתן לחשוב על מושג המשיק גם באופן שונה: נקח שתי נקודות על פונקציה כלשהי, ונחבר ביניהן קו ישר. נמשיך את הקו הזה גם מעבר לשתי הנקודות. לקו המחבר הזה יש שיפוע מסוים. כעת נקרב את הנקודות זו לזו, תוך שאנחנו שומרים על הקו מחובר ביניהן. ככל שהנקודות תתקרבנה זו לזו, הישר המחבר ביניהן יתקרב להיות משיק הפונקציה. כאשר הנקודות תגענה להיות נקודה אחת, הישר יהפוך למשיק, ושיפועו - לנגזרת הפונקציה. בניסוח אחר, ככל שהנקודות יתקרבו זו לזו, שיפוע הישר המחבר ביניהן יהיה הערכה טובה יותר לשיפוע המשיק.
 
==ה"בעיה" במציאת נגזרת==
בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע זהה בכל הנקודות, ליתר הפונקציות ניתן להעביר משיקים בנקודות שונות ולקבל שיפועים שונים.
[[קובץ:Linear function.JPG|right|thumb|100px| עבור אותה נקודת השקה,נקבל את אותו שיפוע מכל נקודה שקיימת על הפונקציה]]
[[קובץ:Tangent as Secant Limit.svg|left|thumb|200px|בפרבולה ניתן להעביר מספר משיקים]]
בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע שאינו משתנה מנקודה לנקודה, אצל שאר הפונקציות ניתן להעביר מספר משיקים מנקודת ההשקה ולקבל ערך שיפוע שונה.
במילים אחרות, בפונקציה ישרה, ניתן לקחת כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.
 
לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי הנגזרת של שיפוע יקבע על פי המשיק הקצר ביותר (= '''ישר גבולי''') שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה. כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''.
=== דוגמה ===
נבחן את הפונקציה <math>\ y=x^2</math> ונחפש את נגזרתה בנקודה <math>\ x=1, y=1^2=1</math>, כלומר <math>\ (1,1)</math>.
כעת נחפש את שיפוע המשיק בנקודה. לצורך כך, נערוך טבלה ובה נקודות רבות, שהולכות ומתקרבות לנקודה שלנו מצד ימין. בכל פעם נחשב את מיקומה המדויק של הנקודה, ואת שיפוע הישר המחבר בין הנקודה לנקודה שלנו - <math>\ (1,1)</math>. אנו מצפים, כאמור, כי ככל שהנקודה תתקרב לנקודה המבוקשת, כך שיפוע המשיק יתקרב להיות ערך הנגזרת. את שיפוע הישר נחשב באמצעות הנוסחה לשיפוע ישר בין שתי נקודות: <math>\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>. אם כן:
 
===דוגמא===
<table cellpadding=5 border="1" align="center">
====הגדרות====
<tr><td align="center">'''x'''</td><td align="center">'''y'''</td><td align="center">'''הנקודה'''</td><td align="center">'''שיפוע הישר'''</td></tr>
[[קובץ:Quadratic_function.JPG|left|thumb|150px|]]
<tr><td align="center">5</td><td align="center">25</td><td align="center">(5,25)</td><td align="center"><math>\frac{25-1}{5-1}=6</math></td></tr>
'''הפונקציה :''' <math>y=X^2</math> <br />
<tr><td align="center">4</td><td align="center">16</td><td align="center">(4,16)</td><td align="center"><math>\frac{16-1}{4-1}=5</math></td></tr>
'''A - נקודת ההשקה :''' (a,b). נניח כי נקודת ההשקה שלנו היא (1,1).<br />
<tr><td align="center">3</td><td align="center">9</td><td align="center">(3,9)</td><td align="center"><math>\frac{9-1}{3-1}=4</math></td></tr>
'''B - נקודה שנייה :''' (X,y) - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפנקציה (פרט מנקודת ההשקה). ה''<span style="color: BLUE;">שאיפה</span>'' שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדוייק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה למציאת הקשר בין X ל-Y), הנקודה היא (x,x<sup>2</sup>).
<tr><td align="center">2</td><td align="center">4</td><td align="center">(2,4)</td><td align="center"><math>\frac{4-1}{2-1}=3</math></td></tr>
<br />
<tr><td align="center">1.5</td><td align="center">2.25</td><td align="center">(1.5,2.25)</td><td align="center"><math>\frac{2.25-1}{1.5-1}=2.5</math></td></tr>
'''השיפוע : ''' <math>y=\frac{x^2-1}{x-1}</math>
<tr><td align="center">1.3</td><td align="center">1.69</td><td align="center">(1.3,1.69)</td><td align="center"><math>\frac{1.69-1}{1.3-1}=2.3</math></td></tr>
<tr><td align="center">1.1</td><td align="center">1.21</td><td align="center">(1.1,1.21)</td><td align="center"><math>\frac{1.21-1}{1.1-1}=2.1</math></td></tr>
<tr><td align="center">1.05</td><td align="center">1.1025</td><td align="center">(1.05,1.1025)</td><td align="center"><math>\frac{1.1025-1}{1.05-1}=2.05</math></td></tr>
<tr><td align="center">1.01</td><td align="center">1.0201</td><td align="center">(1.01,1.0201)</td><td align="center"><math>\frac{1.0201-1}{1.01-1}=2.01</math></td></tr>
</table>
 
====מציאת הנגזרת====
ניתן לראות כי ערך השיפוע הולך ומתקרב לערך 2, וניתן להסיק מכך כי שיפוע המשיק לפונקציה <math>\ y=x^2</math> בנקודה <math>\ (1,1)</math> הוא 2.
*'''מימן או משמאל? -''' נזכיר כי הנקודה B יכולה להיות מימן ל-A או משמאלה.
** אם הנקודה B מימן ל-A ערכי X שלה גדולים מ-1 (מערך X<sub>A</sub>).
** אם הנקודה B משמאל ל-A ערכי ה-X שלה קטנים מ-1 (מערך X<sub>A</sub>).
* נזכיר : ''ככל שהנקודה תהיה קרובה יותר לנקודת ההשקה, כך ערך השיפוע יהיה מדוייק יותר''.
 
X מימן :
'''הערה''': חישבנו את ערך שיפוע המשיק תוך התקרבות של הנקודה מימין. באותה מידה יכולנו לקחת נקודה משמאל לנקודה שלנו, ולהתקרב איתה אל הנקודה (תנועה בכיוון ימין). בשתי הדרכים היינו מקבלים את אותו הערך (בדוק!).
{| class="wikitable" border="1"
| 0.9
| 0.8
| 0.7
|''' X'''
|-
| 1.9
| 1.8
| 1.7
|<math>m =\frac {x^2-1}{x-1}</math>
|}
ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2).
 
X משמאל :
== גבול (lim) ==
{| class="wikitable" border="1"
התהליך שביצענו לעיל הוא ארוך: בניית הטבלה וחישוב הערכים הרבים עלולים להתגלות כמתישים מאוד לאחר ביצועם מספר פעמים. יתר על כן, חסרונה של השיטה לעיל הוא שהיא פשוטה עבור פונקציות פשוטות, אך מורכבת עבור פונקציות מורכבות יותר. לכן, קיימת דרך חלופית:
| 1.1
| 1.2
| 1.3
|''' X'''
|-
| 2.1
| 2.2
| 2.3
|<math>m =\frac {x^2-1}{x-1}</math>
|}
 
שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2) כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''
אם נתונה לנו פונקציה <math>\ y=f(x)</math> ואנו רוצים לגלות את הנגזרת שלה בנקודה מסוימת, נאמר <math>\ (x_0, f(x_0)</math>. נגדיר נקודת עזר (כמו בדוגמה לעיל): <math>\ (x,y)</math>, ונחשב את השיפוע בין שתי הנקודות: <math>\ m=\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}</math>. כעת, נבדוק מה קורה לביטוי הזה כאשר <math>\ x</math> מתקרב מאוד ל-<math>\ x_0</math>.
 
==גבול (lim)==
נראה כיצד הדבר נעשה לגבי הדוגמה שלעיל: הפונקציה שלנו הייתה <math>\ y=x^2</math> והנקודה הייתה <math>\ (1,1)</math>. שיפוע הפונקציה יהא אם כן: <math>\ m=\frac{x^2-1}{x-1}</math>. כעת נשתמש בפירוק לגורמים (נוסחת הכפל המקוצר השלישית) ונקבל:
התהליך ארוך; בנית טבלה, חישוב ערכים וניסיונות להגיע אל הנקודה הקרובה ביותר אל ערך X של נקודת ההשקה - ארוך ומתיש!<br />
<math>\ m=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1</math>
חישוב המתבצע באמצעות lim מקצר את כל הדרך.
אבל, אמרנו שהנקודה הולכת ומתקרבת ל-<math>\ (1,1)</math> ולכן <math>\ x</math> מתקרב מאוד ל-1. לכן ערך השיפוע יהיה: <math>\ m=x+1=1+1=2</math>, בדיוק כמו שקיבלנו באמצעות הטבלה.
 
'''החישוב מתבצע כך :''' <math>lim M</math> ופירוק לגורמים (m הוא השיפוע).
=== נוסחאות גזירה ===
 
שיטה זו עדיפה על השיטה הראשונה שביצענו, ונסביר מדוע: בעזרת השיטה הזו ניתן למצוא ביטוי עבור נגזרת של פונקציה בכל נקודה, כלומר ביטוי כללי (שתלוי ב-<math>\ x</math>) שאם נציב בו את ערך ה-x של הנקודה שעבורה אנו מחפשים את שיפוע המשיק (הנגזרת), נקבל מיד את התוצאה.
===דוגמא===
נמשיך בדוגמא לעיל. נחשב את ערך הנגזרת שלה באמצעות lim. על פי הנתונים :<math>lim\frac{x^2-1}{x-1}</math>
 
טענו כי אנו ''<span style="color: BLUE;">שואפים</span>'' שהנקודה השנייה (B), תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה (A). לכן, במקום לרשום את הערכים שקטנים וגדולים מ-X<sub>A</sub> (כפי שניתן בדוגמא למעלה), אנו אומרים כי X<sub>B</sub> שואף להיות X<sub>A</sub> (הנקודה הכי, הכי קרובה ל-X<sub>A</sub> - רוצה להיות שווה X<sub>A</sub>). נרשום זאת כך :
<math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}</math>
 
מעתה, אנו מתייחסים אל X<sub>B</sub> כשווה ל-X<sub>A</sub>.
 
נפרק את הגבול לגורמים ונקבל :
<math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1</math>
 
כיוון שטענו כי Xa=Xb, נציב את X<sub>A</sub>=1 בגבול. <math>lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2</math>.
 
מכאן, ששיפוע הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> הוא 2. בדיוק אותה מסקנה שגילנו בדרך הטבלאות.
 
==נוסחאות גזירה==
===פונקציה גזירה===
את נוסחא ה'''גבול''' פיתחו וגילו "גזירות" (דרכים) דומות לפונקציות דומות. כיום, אנו מכירים דרכים שונים לגזירת נגזרות ללא צורך בנוסחאת ה-lim. לרשימה של פונקציות גזירה ראה נושא הבאה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
 
===פונקציה חדשה===
קיים מגוון רחב של פונקציות, אך, רובן הן שילוב של שתים, שלוש ויותר, פונקציות. כלומר, אם נחבר שתי פונקציות (נחבר ערכים של נקודות הפונקציה), נוכל לקבל פונקציה חדשה - פונקצית סכום.<br />
במהלך הכרך נלמד למצוא נגזרת של "פנקציה חדשה" בקלות. גם נושא זה יכלל בערך [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
 
עם זאת, לא תמיד חישוב ערך השיפוע באמצעות הגבול הוא פשוט כמו שהיה בדוגמה לעיל. הפתרון לכך הוא מציאה (וזכירה) של נוסחאות עבור מרבית הפונקציות הפשוטות המוכרות, ושימוש בהן בדרכים מסוימות למציאת הנגזרת של פונקציות יותר מורכבות, במידת הצורך. לרשימה של נוסחאות גזירה (והוכחותיהן) ראה את הנושא הבא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
 
[[קטגוריה:מתמטיקה לתיכון]]