מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ביטול גרסה 72627 של ירון (שיחה)-הועתק מגרסאות ישנות שהיו בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתלמידי תיכון-גרסא ז |
|||
שורה 1:
'''נגזרת
משמעותה הגיאומטרית של נגזרתה של פונקציה בנקודה היא שיפוע המשיק של הפונקציה באותה נקודה. משיק לפונקציה הוא קו ישר שנוגע ("נושק") לפונקציה באותה נקודה, אך לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר. שיפועו של המשיק בנקודה מסוימת נקרא נגזרת הפונקציה בנקודה.
[[קובץ:Linear function.JPG|left|thumb|100px|קו ישר. בכל הנקודות שיפוע המשיק זהה.]]
[[קובץ:Tangent as Secant Limit.svg|left|thumb|200px|בפרבולה, למשל, ניתן להעביר מספר משיקים]]
[[קובץ:Quadratic_function.JPG|left|thumb|150px|]
ניתן לחשוב על מושג המשיק גם באופן שונה: נקח שתי נקודות על פונקציה כלשהי, ונחבר ביניהן קו ישר. נמשיך את הקו הזה גם מעבר לשתי הנקודות. לקו המחבר הזה יש שיפוע מסוים. כעת נקרב את הנקודות זו לזו, תוך שאנחנו שומרים על הקו מחובר ביניהן. ככל שהנקודות תתקרבנה זו לזו, הישר המחבר ביניהן יתקרב להיות משיק הפונקציה. כאשר הנקודות תגענה להיות נקודה אחת, הישר יהפוך למשיק, ושיפועו - לנגזרת הפונקציה. בניסוח אחר, ככל שהנקודות יתקרבו זו לזו, שיפוע הישר המחבר ביניהן יהיה הערכה טובה יותר לשיפוע המשיק.
בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע זהה בכל הנקודות, ליתר הפונקציות ניתן להעביר משיקים בנקודות שונות ולקבל שיפועים שונים.
=== דוגמה ===
נבחן את הפונקציה <math>\ y=x^2</math> ונחפש את נגזרתה בנקודה <math>\ x=1, y=1^2=1</math>, כלומר <math>\ (1,1)</math>.
כעת נחפש את שיפוע המשיק בנקודה. לצורך כך, נערוך טבלה ובה נקודות רבות, שהולכות ומתקרבות לנקודה שלנו מצד ימין. בכל פעם נחשב את מיקומה המדויק של הנקודה, ואת שיפוע הישר המחבר בין הנקודה לנקודה שלנו - <math>\ (1,1)</math>. אנו מצפים, כאמור, כי ככל שהנקודה תתקרב לנקודה המבוקשת, כך שיפוע המשיק יתקרב להיות ערך הנגזרת. את שיפוע הישר נחשב באמצעות הנוסחה לשיפוע ישר בין שתי נקודות: <math>\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>. אם כן:
<table cellpadding=5 border="1" align="center">
<tr><td align="center">'''x'''</td><td align="center">'''y'''</td><td align="center">'''הנקודה'''</td><td align="center">'''שיפוע הישר'''</td></tr>
<tr><td align="center">5</td><td align="center">25</td><td align="center">(5,25)</td><td align="center"><math>\frac{25-1}{5-1}=6</math></td></tr>
<tr><td align="center">4</td><td align="center">16</td><td align="center">(4,16)</td><td align="center"><math>\frac{16-1}{4-1}=5</math></td></tr>
<tr><td align="center">3</td><td align="center">9</td><td align="center">(3,9)</td><td align="center"><math>\frac{9-1}{3-1}=4</math></td></tr>
<tr><td align="center">2</td><td align="center">4</td><td align="center">(2,4)</td><td align="center"><math>\frac{4-1}{2-1}=3</math></td></tr>
<tr><td align="center">1.5</td><td align="center">2.25</td><td align="center">(1.5,2.25)</td><td align="center"><math>\frac{2.25-1}{1.5-1}=2.5</math></td></tr>
<tr><td align="center">1.3</td><td align="center">1.69</td><td align="center">(1.3,1.69)</td><td align="center"><math>\frac{1.69-1}{1.3-1}=2.3</math></td></tr>
<tr><td align="center">1.1</td><td align="center">1.21</td><td align="center">(1.1,1.21)</td><td align="center"><math>\frac{1.21-1}{1.1-1}=2.1</math></td></tr>
<tr><td align="center">1.05</td><td align="center">1.1025</td><td align="center">(1.05,1.1025)</td><td align="center"><math>\frac{1.1025-1}{1.05-1}=2.05</math></td></tr>
<tr><td align="center">1.01</td><td align="center">1.0201</td><td align="center">(1.01,1.0201)</td><td align="center"><math>\frac{1.0201-1}{1.01-1}=2.01</math></td></tr>
</table>
ניתן לראות כי ערך השיפוע הולך ומתקרב לערך 2, וניתן להסיק מכך כי שיפוע המשיק לפונקציה <math>\ y=x^2</math> בנקודה <math>\ (1,1)</math> הוא 2.
'''הערה''': חישבנו את ערך שיפוע המשיק תוך התקרבות של הנקודה מימין. באותה מידה יכולנו לקחת נקודה משמאל לנקודה שלנו, ולהתקרב איתה אל הנקודה (תנועה בכיוון ימין). בשתי הדרכים היינו מקבלים את אותו הערך (בדוק!).
== גבול (lim) ==
התהליך שביצענו לעיל הוא ארוך: בניית הטבלה וחישוב הערכים הרבים עלולים להתגלות כמתישים מאוד לאחר ביצועם מספר פעמים. יתר על כן, חסרונה של השיטה לעיל הוא שהיא פשוטה עבור פונקציות פשוטות, אך מורכבת עבור פונקציות מורכבות יותר. לכן, קיימת דרך חלופית:
אם נתונה לנו פונקציה <math>\ y=f(x)</math> ואנו רוצים לגלות את הנגזרת שלה בנקודה מסוימת, נאמר <math>\ (x_0, f(x_0)</math>. נגדיר נקודת עזר (כמו בדוגמה לעיל): <math>\ (x,y)</math>, ונחשב את השיפוע בין שתי הנקודות: <math>\ m=\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}</math>. כעת, נבדוק מה קורה לביטוי הזה כאשר <math>\ x</math> מתקרב מאוד ל-<math>\ x_0</math>.
נראה כיצד הדבר נעשה לגבי הדוגמה שלעיל: הפונקציה שלנו הייתה <math>\ y=x^2</math> והנקודה הייתה <math>\ (1,1)</math>. שיפוע הפונקציה יהא אם כן: <math>\ m=\frac{x^2-1}{x-1}</math>. כעת נשתמש בפירוק לגורמים (נוסחת הכפל המקוצר השלישית) ונקבל:
<math>\ m=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1</math>
אבל, אמרנו שהנקודה הולכת ומתקרבת ל-<math>\ (1,1)</math> ולכן <math>\ x</math> מתקרב מאוד ל-1. לכן ערך השיפוע יהיה: <math>\ m=x+1=1+1=2</math>, בדיוק כמו שקיבלנו באמצעות הטבלה.
=== נוסחאות גזירה ===
שיטה זו עדיפה על השיטה הראשונה שביצענו, ונסביר מדוע: בעזרת השיטה הזו ניתן למצוא ביטוי עבור נגזרת של פונקציה בכל נקודה, כלומר ביטוי כללי (שתלוי ב-<math>\ x</math>) שאם נציב בו את ערך ה-x של הנקודה שעבורה אנו מחפשים את שיפוע המשיק (הנגזרת), נקבל מיד את התוצאה.
עם זאת, לא תמיד חישוב ערך השיפוע באמצעות הגבול הוא פשוט כמו שהיה בדוגמה לעיל. הפתרון לכך הוא מציאה (וזכירה) של נוסחאות עבור מרבית הפונקציות הפשוטות המוכרות, ושימוש בהן בדרכים מסוימות למציאת הנגזרת של פונקציות יותר מורכבות, במידת הצורך. לרשימה של נוסחאות גזירה (והוכחותיהן) ראה את הנושא הבא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
[[קטגוריה:מתמטיקה לתיכון]]
|