מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שילוב גרסאות ; גבול lim - 2 גרסאות יש להחליט |
|||
שורה 1:
'''נגזרת -'''
: חשיבות הנגזרת
'''נקודת ההשקה -''' נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה כ : (a,b).
משמעותה הגיאומטרית של נגזרתה של פונקציה בנקודה היא שיפוע המשיק של הפונקציה באותה נקודה. משיק לפונקציה הוא קו ישר שנוגע ("נושק") לפונקציה באותה נקודה, אך לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר. שיפועו של המשיק בנקודה מסוימת נקרא נגזרת הפונקציה בנקודה.▼
[[קובץ:Tangent as Secant Limit.svg|left|thumb|200px|בפרבולה, למשל, ניתן להעביר מספר משיקים]]▼
[[קובץ:Quadratic_function.JPG|left|thumb|150px|]▼
▲
בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע זהה בכל הנקודות, ליתר הפונקציות ניתן להעביר משיקים בנקודות שונות ולקבל שיפועים שונים.▼
==ה"בעיה" במציאת נגזרת==
[[קובץ:Linear function.JPG|right|thumb|100px| עבור אותה נקודת השקה,נקבל את אותו שיפוע מכל נקודה שקיימת על הפונקציה]]
▲בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע
במילים אחרות, בפונקציה ישרה, ניתן לקחת כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.
לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי הנגזרת של שיפוע יקבע על פי המשיק הקצר ביותר (= '''ישר גבולי''') שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה. כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''.
===דוגמא===
====הגדרות====
▲[[קובץ:Quadratic_function.JPG|left|thumb|150px|]]
'''הפונקציה :''' <math>y=X^2</math> <br />
'''A - נקודת ההשקה :''' (a,b). נניח כי נקודת ההשקה שלנו היא (1,1).<br />
'''B - נקודה שנייה :''' (X,y) - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפנקציה (פרט מנקודת ההשקה). ה''<span style="color: BLUE;">שאיפה</span>'' שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדוייק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה למציאת הקשר בין X ל-Y), הנקודה היא (x,x<sup>2</sup>).
<br />
'''השיפוע : ''' <math>y=\frac{x^2-1}{x-1}</math>
====מציאת הנגזרת====
*'''מימן או משמאל? -''' נזכיר כי הנקודה B יכולה להיות מימן ל-A או משמאלה.
** אם הנקודה B מימן ל-A ערכי X שלה גדולים מ-1 (מערך X<sub>A</sub>).
** אם הנקודה B משמאל ל-A ערכי ה-X שלה קטנים מ-1 (מערך X<sub>A</sub>).
* נזכיר : ''ככל שהנקודה תהיה קרובה יותר לנקודת ההשקה, כך ערך השיפוע יהיה מדוייק יותר''.
X מימן :
{| class="wikitable" border="1"
| 0.9
| 0.8
| 0.7
|''' X'''
|-
| 1.9
| 1.8
| 1.7
|<math>m =\frac {x^2-1}{x-1}</math>
|}
ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2).
X משמאל :
{| class="wikitable" border="1"
| 1.1
| 1.2
| 1.3
|''' X'''
|-
| 2.1
| 2.2
| 2.3
|<math>m =\frac {x^2-1}{x-1}</math>
|}
שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2) כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''
===טבלה===
אם נביט בטבלה, נוכל לראות שוב כי ככל שערכי ה-X מתקרבים לערך של אחד, כך, מגיעים אל ערך השיפוע המדויק יותר.
<table cellpadding=5 border="1" align="center">
שורה 27 ⟵ 74:
</table>
התהליך ארוך; בנית טבלה, חישוב ערכים וניסיונות להגיע אל הנקודה הקרובה ביותר אל ערך X של נקודת ההשקה - ארוך ומתיש!<br />
חישוב המתבצע באמצעות lim מקצר את כל הדרך.
'''החישוב מתבצע כך :''' <math>lim M</math> ופירוק לגורמים (m הוא השיפוע).
===דוגמא===
▲== גבול (lim) ==
נמשיך בדוגמא לעיל. נחשב את ערך הנגזרת שלה באמצעות lim. על פי הנתונים :<math>lim\frac{x^2-1}{x-1}</math>
טענו כי אנו ''<span style="color: BLUE;">שואפים</span>'' שהנקודה השנייה (B), תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה (A). לכן, במקום לרשום את הערכים שקטנים וגדולים מ-X<sub>A</sub> (כפי שניתן בדוגמא למעלה), אנו אומרים כי X<sub>B</sub> שואף להיות X<sub>A</sub> (הנקודה הכי, הכי קרובה ל-X<sub>A</sub> - רוצה להיות שווה X<sub>A</sub>). נרשום זאת כך :
<math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}</math>
מעתה, אנו מתייחסים אל X<sub>B</sub> כשווה ל-X<sub>A</sub>.
נפרק את הגבול לגורמים ונקבל :
<math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1</math>
כיוון שטענו כי Xa=Xb, נציב את X<sub>A</sub>=1 בגבול. <math>lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2</math>.
מכאן, ששיפוע הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> הוא 2. בדיוק אותה מסקנה שגילנו בדרך הטבלאות.
== שימוש בנוסחא שיפוע ==
התהליך שביצענו לעיל הוא ארוך: בניית הטבלה וחישוב הערכים הרבים עלולים להתגלות כמתישים מאוד לאחר ביצועם מספר פעמים. יתר על כן, חסרונה של השיטה לעיל הוא שהיא פשוטה עבור פונקציות פשוטות, אך מורכבת עבור פונקציות מורכבות יותר. לכן, קיימת דרך חלופית:
שורה 40 ⟵ 104:
אבל, אמרנו שהנקודה הולכת ומתקרבת ל-<math>\ (1,1)</math> ולכן <math>\ x</math> מתקרב מאוד ל-1. לכן ערך השיפוע יהיה: <math>\ m=x+1=1+1=2</math>, בדיוק כמו שקיבלנו באמצעות הטבלה.
===פונקציה גזירה===
את נוסחא ה'''גבול''' פיתחו וגילו "גזירות" (דרכים) דומות לפונקציות דומות. כיום, אנו מכירים דרכים שונים לגזירת נגזרות ללא צורך בנוסחאת ה-lim. לרשימה של פונקציות גזירה ראה נושא הבאה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
===פונקציה חדשה===
קיים מגוון רחב של פונקציות, אך, רובן הן שילוב של שתים, שלוש ויותר, פונקציות. כלומר, אם נחבר שתי פונקציות (נחבר ערכים של נקודות הפונקציה), נוכל לקבל פונקציה חדשה - פונקצית סכום.<br />
במהלך הכרך נלמד למצוא נגזרת של "פנקציה חדשה" בקלות. גם נושא זה יכלל בערך [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
[[קטגוריה:מתמטיקה לתיכון]]
| |||