הבדלים בין גרסאות בדף "מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה"

שילוב גרסאות ; גבול lim - 2 גרסאות יש להחליט
(ביטול גרסה 72893 של Illuyanka (שיחה))
(שילוב גרסאות ; גבול lim - 2 גרסאות יש להחליט)
'''נגזרת -''' - שיפוע של ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|פונקציה]] שאינה דווקא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה או /לינארית]] (y=mx+n). מסומנת <math>\ f'(x)</math>. .
: חשיבות הנגזרת נעוצה בכך שהיא: מסייעת לנו לחקור את פונקציה נתונה ולמצוא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|תחומי עלייה וירידה]] של הפונקציה (תחומים בהם הפונקציה עולה ותחומים בהם היא יורדת), [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודות קיצון]] ועוד.
 
'''נקודת ההשקה -''' נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה כ : (a,b).
משמעותה הגיאומטרית של נגזרתה של פונקציה בנקודה היא שיפוע המשיק של הפונקציה באותה נקודה. משיק לפונקציה הוא קו ישר שנוגע ("נושק") לפונקציה באותה נקודה, אך לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר. שיפועו של המשיק בנקודה מסוימת נקרא נגזרת הפונקציה בנקודה.
[[קובץ:Linear function.JPG|left|thumb|100px|קו ישר. בכל הנקודות שיפוע המשיק זהה.]]
[[קובץ:Tangent as Secant Limit.svg|left|thumb|200px|בפרבולה, למשל, ניתן להעביר מספר משיקים]]
[[קובץ:Quadratic_function.JPG|left|thumb|150px|]
ניתן לחשוב על מושג המשיק גם באופן שונה: נקח שתי נקודות על פונקציה כלשהי, ונחבר ביניהן קו ישר. נמשיך את הקו הזה גם מעבר לשתי הנקודות. לקו המחבר הזה יש שיפוע מסוים. כעת נקרב את הנקודות זו לזו, תוך שאנחנו שומרים על הקו מחובר ביניהן. ככל שהנקודות תתקרבנה זו לזו, הישר המחבר ביניהן יתקרב להיות משיק הפונקציה. כאשר הנקודות תגענה להיות נקודה אחת, הישר יהפוך למשיק, ושיפועו - לנגזרת הפונקציה. בניסוח אחר, ככל שהנקודות יתקרבו זו לזו, שיפוע הישר המחבר ביניהן יהיה הערכה טובה יותר לשיפוע המשיק.
 
משמעותה'''[[מתמטיקה הגיאומטרית של נגזרתה של פונקציה בנקודה היא שיפוע המשיק של הפונקציה באותה נקודה.תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/משיק|משיק לפונקציה]] הוא-''' קו ישר שנוגעהנוגע ("נושק") לפונקציה באותה נקודהבנקודה, אך לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר. שיפועו של המשיק בנקודה מסוימת נקרא נגזרת הפונקציה בנקודה.
בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע זהה בכל הנקודות, ליתר הפונקציות ניתן להעביר משיקים בנקודות שונות ולקבל שיפועים שונים.
 
==ה"בעיה" במציאת נגזרת==
=== דוגמה ===
[[קובץ:Linear function.JPG|right|thumb|100px| עבור אותה נקודת השקה,נקבל את אותו שיפוע מכל נקודה שקיימת על הפונקציה]]
נבחן את הפונקציה <math>\ y=x^2</math> ונחפש את נגזרתה בנקודה <math>\ x=1, y=1^2=1</math>, כלומר <math>\ (1,1)</math>.
[[קובץ:Tangent as Secant Limit.svg|left|thumb|200px|בפרבולה, למשל, ניתן להעביר מספר משיקים]]
כעת נחפש את שיפוע המשיק בנקודה. לצורך כך, נערוך טבלה ובה נקודות רבות, שהולכות ומתקרבות לנקודה שלנו מצד ימין. בכל פעם נחשב את מיקומה המדויק של הנקודה, ואת שיפוע הישר המחבר בין הנקודה לנקודה שלנו - <math>\ (1,1)</math>. אנו מצפים, כאמור, כי ככל שהנקודה תתקרב לנקודה המבוקשת, כך שיפוע המשיק יתקרב להיות ערך הנגזרת. את שיפוע הישר נחשב באמצעות הנוסחה לשיפוע ישר בין שתי נקודות: <math>\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>. אם כן:
בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע זההשאינו בכלמשתנה הנקודותמנקודה לנקודה, ליתראצל שאר הפונקציות ניתן להעביר מספר משיקים בנקודותמנקודת שונותההשקה ולקבל שיפועיםערך שוניםשיפוע שונה.
במילים אחרות, בפונקציה ישרה, ניתן לקחת כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.
 
לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי הנגזרת של שיפוע יקבע על פי המשיק הקצר ביותר (= '''ישר גבולי''') שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה. כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''.
 
===דוגמא===
====הגדרות====
[[קובץ:Quadratic_function.JPG|left|thumb|150px|]]
'''הפונקציה :''' <math>y=X^2</math> <br />
'''A - נקודת ההשקה :''' (a,b). נניח כי נקודת ההשקה שלנו היא (1,1).<br />
'''B - נקודה שנייה :''' (X,y) - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפנקציה (פרט מנקודת ההשקה). ה''<span style="color: BLUE;">שאיפה</span>'' שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדוייק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה למציאת הקשר בין X ל-Y), הנקודה היא (x,x<sup>2</sup>).
<br />
'''השיפוע : ''' <math>y=\frac{x^2-1}{x-1}</math>
 
====מציאת הנגזרת====
*'''מימן או משמאל? -''' נזכיר כי הנקודה B יכולה להיות מימן ל-A או משמאלה.
** אם הנקודה B מימן ל-A ערכי X שלה גדולים מ-1 (מערך X<sub>A</sub>).
** אם הנקודה B משמאל ל-A ערכי ה-X שלה קטנים מ-1 (מערך X<sub>A</sub>).
* נזכיר : ''ככל שהנקודה תהיה קרובה יותר לנקודת ההשקה, כך ערך השיפוע יהיה מדוייק יותר''.
 
X מימן :
{| class="wikitable" border="1"
| 0.9
| 0.8
| 0.7
|''' X'''
|-
| 1.9
| 1.8
| 1.7
|<math>m =\frac {x^2-1}{x-1}</math>
|}
ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2).
 
X משמאל :
{| class="wikitable" border="1"
| 1.1
| 1.2
| 1.3
|''' X'''
|-
| 2.1
| 2.2
| 2.3
|<math>m =\frac {x^2-1}{x-1}</math>
|}
 
שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2) כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''
 
===טבלה===
אם נביט בטבלה, נוכל לראות שוב כי ככל שערכי ה-X מתקרבים לערך של אחד, כך, מגיעים אל ערך השיפוע המדויק יותר.
 
<table cellpadding=5 border="1" align="center">
</table>
 
== גבול (lim) ==
ניתן לראות כי ערך השיפוע הולך ומתקרב לערך 2, וניתן להסיק מכך כי שיפוע המשיק לפונקציה <math>\ y=x^2</math> בנקודה <math>\ (1,1)</math> הוא 2.
התהליך ארוך; בנית טבלה, חישוב ערכים וניסיונות להגיע אל הנקודה הקרובה ביותר אל ערך X של נקודת ההשקה - ארוך ומתיש!<br />
חישוב המתבצע באמצעות lim מקצר את כל הדרך.
 
'''החישוב מתבצע כך :''' <math>lim M</math> ופירוק לגורמים (m הוא השיפוע).
'''הערה''': חישבנו את ערך שיפוע המשיק תוך התקרבות של הנקודה מימין. באותה מידה יכולנו לקחת נקודה משמאל לנקודה שלנו, ולהתקרב איתה אל הנקודה (תנועה בכיוון ימין). בשתי הדרכים היינו מקבלים את אותו הערך (בדוק!).
 
===דוגמא===
== גבול (lim) ==
נמשיך בדוגמא לעיל. נחשב את ערך הנגזרת שלה באמצעות lim. על פי הנתונים :<math>lim\frac{x^2-1}{x-1}</math>
 
טענו כי אנו ''<span style="color: BLUE;">שואפים</span>'' שהנקודה השנייה (B), תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה (A). לכן, במקום לרשום את הערכים שקטנים וגדולים מ-X<sub>A</sub> (כפי שניתן בדוגמא למעלה), אנו אומרים כי X<sub>B</sub> שואף להיות X<sub>A</sub> (הנקודה הכי, הכי קרובה ל-X<sub>A</sub> - רוצה להיות שווה X<sub>A</sub>). נרשום זאת כך :
<math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}</math>
 
מעתה, אנו מתייחסים אל X<sub>B</sub> כשווה ל-X<sub>A</sub>.
 
נפרק את הגבול לגורמים ונקבל :
<math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1</math>
 
כיוון שטענו כי Xa=Xb, נציב את X<sub>A</sub>=1 בגבול. <math>lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2</math>.
 
מכאן, ששיפוע הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> הוא 2. בדיוק אותה מסקנה שגילנו בדרך הטבלאות.
 
== שימוש בנוסחא שיפוע ==
התהליך שביצענו לעיל הוא ארוך: בניית הטבלה וחישוב הערכים הרבים עלולים להתגלות כמתישים מאוד לאחר ביצועם מספר פעמים. יתר על כן, חסרונה של השיטה לעיל הוא שהיא פשוטה עבור פונקציות פשוטות, אך מורכבת עבור פונקציות מורכבות יותר. לכן, קיימת דרך חלופית:
 
אבל, אמרנו שהנקודה הולכת ומתקרבת ל-<math>\ (1,1)</math> ולכן <math>\ x</math> מתקרב מאוד ל-1. לכן ערך השיפוע יהיה: <math>\ m=x+1=1+1=2</math>, בדיוק כמו שקיבלנו באמצעות הטבלה.
 
=== נוסחאות גזירה ===
===פונקציה גזירה===
שיטה זו עדיפה על השיטה הראשונה שביצענו, ונסביר מדוע: בעזרת השיטה הזו ניתן למצוא ביטוי עבור נגזרת של פונקציה בכל נקודה, כלומר ביטוי כללי (שתלוי ב-<math>\ x</math>) שאם נציב בו את ערך ה-x של הנקודה שעבורה אנו מחפשים את שיפוע המשיק (הנגזרת), נקבל מיד את התוצאה.
את נוסחא ה'''גבול''' פיתחו וגילו "גזירות" (דרכים) דומות לפונקציות דומות. כיום, אנו מכירים דרכים שונים לגזירת נגזרות ללא צורך בנוסחאת ה-lim. לרשימה של פונקציות גזירה ראה נושא הבאה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
 
===פונקציה חדשה===
קיים מגוון רחב של פונקציות, אך, רובן הן שילוב של שתים, שלוש ויותר, פונקציות. כלומר, אם נחבר שתי פונקציות (נחבר ערכים של נקודות הפונקציה), נוכל לקבל פונקציה חדשה - פונקצית סכום.<br />
במהלך הכרך נלמד למצוא נגזרת של "פנקציה חדשה" בקלות. גם נושא זה יכלל בערך [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
 
 
עם זאת, לא תמיד חישוב ערך השיפוע באמצעות הגבול הוא פשוט כמו שהיה בדוגמה לעיל. הפתרון לכך הוא מציאה (וזכירה) של נוסחאות עבור מרבית הפונקציות הפשוטות המוכרות, ושימוש בהן בדרכים מסוימות למציאת הנגזרת של פונקציות יותר מורכבות, במידת הצורך. לרשימה של נוסחאות גזירה (והוכחותיהן) ראה את הנושא הבא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
 
[[קטגוריה:מתמטיקה לתיכון]]