|
====פעולת גאוס====
פעולת גאוס ניתנה לה על שם המתמטיקאי הידוע [[w:קרל פרידריך גאוס|גאוס]] אשר המציא אותה כחלק מ[[w:אלגוריתם|אלגוריתם]] לפתרון וחקר של מערכות משוואות לינאריות במספר גדול של נעלמים אשר גם נושא את שמו. אין מניעה, עם זאת, להשתמש בה בכל סוג של מערכת משוואות, כל עוד היא יכולה לעזור להביא אותנו לפתרון. הפעולה טובה לצורך הבאת מערכת גדולה של משוואות לצורה של מערכת קטנה יותר וקלה יותר לפתרון.<br>
פעולת גאוס היא פשוט הכפלה של שורה אחת (כלומר משוואה אחת) במספר קבוע, וחיבור עם משוואה אחרת. הפעולה טובה במיוחד כאשר יש לנו משוואה אחת אשר אחד הנעלמים שלה בא עם מקדם של 1 (אם כי ברור שתמיד ניתן להפוך את אחת המשוואות למשוואה שאחד המקדמים הוא 1). נדגים שימוש בפעולת גאוס על מערכת משוואות בת 3 נעלמים ו-3 משוואות.
<center>
<math>
\left\{
\begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4 & \;\;\;\;/\;\;
\times \left(-3\right) \;\;+\left(II\right)
\\
\left(II\right) & 3x-7y-2z & = & -1 \\
\left(III\right) & 2x-y-5z & = & 1 \\
\end{matrix}
\right.
</math>
<br>
<math>
\Updownarrow
</math>
<br>
<math>
\left\{
\begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4 & \;\;\;\;/\;\;
\times \left(-2\right) \;\;+\left(III\right)
\\
\left(II\right) & 3x-3x-7y+15y-2z-9z & = & -1-12 & \\
\left(III\right) & 2x-y-5z & = & 1 &\\
\end{matrix}
\right.
</math>
<br>
<math>
\Updownarrow
</math>
<br>
<math>
\left\{
\begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4
\\
\left(II\right) & 8y-11z & = & -13 \\
\left(III\right) & 2x-2x-y+10y-5z-9z & = & 1-8 \\
\end{matrix}
\right.
</math>
<br>
<math>
\Updownarrow
</math>
<br>
<math>
\left\{
\begin{matrix}\left(I\right) & x-5y+3z & = & 4
\\
\left(II\right) & 8y-11z & = & -13 \\
\left(III\right) & 9y-14z & = & -7 \\
\end{matrix}
\right.
</math>
</center>
נשים לב שכעת, המשוואות <math>\left(II\right)</math> ו <math>\left(III\right) </math> מהוות מערכת משוואות בשני נעלמים. אם נפתור אותה, נוכל להציב את <math>\;y</math> ואת <math>\;z</math> במשוואה הראשונה ונקבל את הפתרון עבור <math>\;x</math> ובזה נפתור את כל המערכת. כלומר, שיטה זו נועדה לפתור מערכת גדולה של משוואות לינאריות. ניתן כמובן להשתמש בה גם במצבים אחרים.
===דוגמאות ומקרים מיוחדים===
| 