מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/הטרינום: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ קטגוריה |
איחוד עם פירוק תלת איבר ריבועי (טרינום) |
||
שורה 8:
</math>
</center>
כאשר <math>a\neq{0}</math>.
כאשר <math>a\neq{0}</math>. נתחיל בפירוק לגורמים כאשר <math>a=1</math>. אנו מעוניינים למצוא מכפלה של שני בינומים (דו-איברים, או פולינומים שבהם שני איברים בלבד) אשר תוצאתה הסופית היא הטרינום הנתון. ניקח למשל את הטרינום▼
הגורמים הם: <math>\ (x-x_1)</math> ו- <math>\ (x-x_2)</math> כאשר <math>\ x_1</math> ו- <math>\ x_2</math> הם '''שורשי הטרינום'''. נרחיב על מושג זה בהמשך.
==<math>\ a=1</math>==
▲
<center>
<math>
שורה 44 ⟵ 49:
כך שלמעשה, אנו רואים שמספרים אלו מופיעים בשלב האחרון לפני כינוס האיברים אשר מוביל ליצירת הטרינום. כאשר אנו מקבלים את הטרינום בצורתו המוגמרת, עלינו למצוא שילוב אשר יקיים את אותן התכונות אשר אנו רואים לעיל.</br>
כעת נתאר באופן מדוייק את סדר הפעולות הדרוש לפתרון הבעיה ונדגים כל שלב על טרינום הדוגמא שלנו.</br>
ראשית, נרשום את כל המכפלות של '''שני''' מספרים אשר נותנות את האיבר החופשי (במקרה שלנו ▼
▲ראשית, נרשום את כל המכפלות של '''שני''' מספרים אשר נותנות את <math>\ C</math>, האיבר החופשי (במקרה שלנו
<math>\left(-10\right)</math>
).
שורה 62 ⟵ 69:
|}
</center>
שנית, נחפש זוג (אשר מופיע בשורה) אשר סכום המספרים בו הוא
<math>\left(-3\right)</math>
כי זהו המקדם של האיבר בו x מופיע ללא חזקה, והוא זה שעבורו מחפשים את הסכום.
ניתן דוגמא נוספת. הפעם ניקח את הטרינום
<math>x^2-20\cdot{x}+99</math>.
כאן המספרים יותר גדולים ולכן יקשה עלינו לנסות לנחש את הפתרון. נשתמש בסדר הפעולות שקבענו קודם. עלינו ראשית לפרק את 99 לגורמים.
<center>
{| border=1
|-
|
|-
| <math>\left(1\right)</math> || <math>\left(99\right)</math>||<math>\ 100</math>
|-
| <math>\left(-1\right)</math> || <math>\left(-99\right)</math>||<math>\ -100</math>
|-
| <math>\left(3\right)</math> || <math>\left(33\right)</math>||<math>\ 36</math>
|-
| <math>\left(-3\right)</math> || <math>\left(-33\right)</math>||<math>\ -36</math>
|-
| <math>\left(9\right)</math> || <math>\left(11\right)</math>||<math>\ 20</math>
|-
| <math>\left(-9\right)</math> || <math>\left(-11\right)</math>||<math>\ -20</math>
|}
</center>
כעת נסכם וננסה לקבל
שורה 95 ⟵ 107:
</center>
כפי שנדרש.</br>
נזכר כי עדיין לא פתרנו את הבעיה עבור טרינום אשר בו המקדם של <math>x^2</math> כלומר <math>a\neq{1}</math>. במקרה זה עלינו להוציא אותו מחוץ לסוגריים לכל הטרינום ולהמשיך את הפעולות כרגיל על הטרינום בתוך הסוגריים. מקבלים במקרה זה▼
==<math>\ a \neq{1}</math>==
נזכר כי עדיין לא פתרנו את הבעיה עבור טרינום אשר בו המקדם של <math>\ x^2</math> כלומר <math>a\neq{1}</math>. לדוגמא, בטרינום הזה, <math>\ 3x^2+9x+6</math> הוא תוצר של המכפלה
<math>\ 3(x+1)(x+2)</math>, לכן, הגורמים שלו הם: <math>\ 3</math>, <math>\ (x+1)</math> ו- <math>\ (x+2)</math>. שורשי הטרינום הם <math>\ 2-</math> ו- <math>\ 1-</math>.
▲
<center>
<math>a\cdot\left({x}^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)</math>
</center>
במקרה הכללי הפירוק של <math>\ c</math> לא יתן תשובה אשר סכומה הוא באמת <math>\ b</math> והפעולה תיכשל. במקרה זה עדיין לעיתים ניתן לפרק טרינום זה אך נושא זה קשור לנושא אחר, אשר בו נידון שוב בפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות|משוואות]] והוא נקרא נוסחאות וייטה.
===דוגמא===
בכדי לפרק לגורמים את הטרינום <math>\ 7x^2-7x-42</math>, תחילה, עלינו להוציא את <math>\ a</math>, המקדם של <math>\ x^2</math>, מחוץ לסוגריים:
<div style="direction: ltr;">
<math>7x^2-7x-42=
7\left(\frac{\not7x^2}{\not7}-\frac{\not7x}{\not7}-\frac{42}{7}\right)=
7(x^2-x-6)</math></div>
כעת נפרק את הטרינום שבתוך הסוגריים בעזרת השיטה שלמדנו; אנו מחפשים זוג מספרים שמכפלתם היא <math>\ -6</math> וסכומם הוא <math>\ -1</math>.
{|border=1
|-
|<math>\ \alpha</math>||<math>\ \beta</math>||<math>\ \alpha + \beta</math>
|-
|<math>\ 1</math>||<math>\ -6</math>||<math>\ -5</math>
|-
|<math>\ -1</math>||<math>\ 6</math>||<math>\ 5</math>
|-
|<math>\ 2</math>||<math>\ -3</math>||<math>\ -1</math>
|-
|<math>\ -2</math>||<math>\ 3</math>||<math>\ 1</math>
|}
הזוג הוא <math>\ 2</math> ו- <math>\ (-3)</math>. הטרינום שבסוגריים <math>\ x^2-x-6</math> מתפרק ל<math>\ (x+2)(x-3)</math>.
<div style="direction: ltr;">
<math>\ x^2-x-6=(x+2)(x-3) \Rightarrow 7(x^2-x-6) = 7(x+2)(x-3)</math>
</div>
תשובה: <math>\ 7(x+2)(x-3)</math>
{{תוכן|
| |||