חשבון/שברים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
דף חדש: {{עריכה}} # /שבר פשוט/ קטגוריה:חשבון |
הועתק מחשבון/שברים/שבר פשוט |
||
שורה 1:
{{עריכה}}
=הקדמה=
עד כה פגשנו במספרים שלמים, חיוביים או שליליים. מספרים שלמים חיוביים נקראים גם "טבעיים", משום שמושג העצם השלם הוא הטבעי לנו ביותר - תפוח שלם, כסא שלם וכולי. בנוסף, הצלחנו להבין את מושג המספר השלילי.
שברים הם מספרים שאינם שלמים. אינטואיטיבית, קל לחשוב על "חצי תפוח" או על "בן שנה וחצי". בנוסף, ניתן לחשוב על יום בשבוע כעל שביעית ממנו, ועוד.
הכנסת השברים למערכת המספרים מאפשרת לנו למצוא מספרים בין המספרים השלמים, כאשר עד כה לא היו כאלה. בנוסף, היא מאפשרת לנו למצוא פתרונות לתרגילי חילוק של מספרים שאינם מתחלקים זה בזה (בלי להשתמש בשארית), או כשהמחולק קטן מהמחלק.
קיימות שתי צורות להציג שברים: שבר פשוט ושבר עשרוני. ראשית נלמד על הצגת שברים בצורת השבר הפשוט.
=תוכן עניינים=
{{תוכן עניינים|
#[[/השבר הפשוט/]]
#[[/משמעות השבר/]]
#[[/שבר מעורב/]]
#[[/שבר מדומה/]]
#[[/פעולות חשבון/]]
#[[/מספרים הופכיים/]]
}}
== הרחבה וצמצום ==
אותו השבר ניתן להצגה כשבר פשוט בצורות שונות. את <math>\frac{1}{2}</math> ניתן להציג גם כ-<math>\frac{2}{4}</math> או כ-<math>\frac{100}{200}</math> - התוצאה של תרגיל החילוק נשארת זהה, ולכן השבר נשאר זהה. לפעולת המעבר בין הצגות שונות של השבר קוראים "הרחבה" או "צמצום".
הרחבה היא הכפלת המונה והמכנה באותו מספר. כאשר מכפילים את המונה והמכנה באותו מספר, השבר נשאר זהה: <math>\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}</math>.
צמצום הוא חלוקת המונה והמכנה באותו מספר (השונה מאפס). פעולה זו הפוכה למעשה לפעולת ההרחבה. גם במקרה זה השבר נשאר זהה: <math>\frac{2}{4} = \frac{2 : 2}{4 : 2} = \frac{1}{2}</math>.
חשוב לזכור שהרחבה וצמצום אינן משנות את השבר עצמו, אלא אך ורק את צורת ההצגה שלו.
בדרך כלל נרצה להציג את השבר בצורתו המצומצמת ביותר. כדי לעשות זאת, נבדוק האם יש גורם משותף כלשהו של המונה והמכנה, כלומר - האם קיים מספר כלשהו ששניהם מתחלקים בו. אם כן, נצמצם במספר זה, ונחזור על הבדיקה עד שלא יהיה גורם משותף בין המונה והמכנה.
== מספרים הופכיים ==
שני שברים נקראים '''הופכיים''' זה לזה אם המונה של הראשון הוא המכנה של השני והמכנה של הראשון הוא המונה של השני. מכפלת שני שברים כאלה היא תמיד 1 (בהמשך נלמד כיצד כופלים שברים). סימניהם של המספרים חייבים להיות זהים (דהיינו, שניהם חיוביים או שניהם שליליים).
בדומה לכך, שבר ומספר שלם הם הופכיים זה לזה אם המונה של השבר הוא 1, והמכנה שלו הוא המספר השלם.
לאפס אין מספר הופכי.
כדי לגלות את המספר ההופכי למספר מסוים, יש לחלק את 1 בו. למשל, המספר ההופכי ל-5 הוא <math>\frac{1}{5}</math>. בהמשך נלמד כיצד מחלקים שברים.
== שברים מדומים ומספרים מעורבים ==
כאמור, כאשר המונה גדול יותר מהמכנה, השבר גדול מ-1. שבר המיוצג בצורה כזו, לדוגמה <math>\frac{8}{3}</math>, נקרא "שבר מדומה" ("שבר אמיתי" הוא שבר בין 0 ל-1).
מקובל להציג שברים מדומים בצורת "מספר מעורב", כלומר: כאשר החלק השלם מצוי לצד החלק המהווה שבר. לדוגמה, את השבר המדומה <math>\frac{8}{3}</math> ניתן להציג כמספר מעורב: <math>2\frac{2}{3}</math>. למספר זה נקרא "שתיים ושני שלישים". יובהר, שהפעולה בין המספר השלם והשבר היא חיבור (למעשה המספר הוא: <math>2 + \frac{2}{3}</math>).
כדי להפוך שבר מדומה למספר מעורב, יש לבדוק כמה פעמים "נכנס" המונה במכנה. מספר זה הוא המספר השלם, ומה שנשאר מהמונה הוא המונה של השבר החדש. המכנה נשאר אותו מכנה. ניתן לראות זאת גם כחלוקה בשארית: מחלקים בשארית את המונה במכנה, התוצאה היא המספר השלם, השארית היא המונה החדש, והמכנה נשאר אותו מכנה. לדוגמה, בשבר <math>\frac{11}{5}</math>, כאשר מחלקים 11 ב-5, התוצאה היא 2 והשארית היא 1, ולכן המספר המעורב הוא <math>2\frac{1}{5}</math>.
כדי להפוך מספר מעורב לשבר מדומה, יש להכפיל את המספר השלם במכנה, ולהוסיף אותו למונה. לדוגמה: <math>3\frac{1}{3} = \frac{1 + 3 \times 3}{3} = \frac{1 + 9}{3} = \frac{10}{3}</math>.
== השוואה בין שברים ומכנה משותף ==
נניח שנתונים שני שברים, <math>\frac{3}{4}</math> ו-<math>\frac{15}{38}</math>, שברצוננו להשוות ביניהם. אין אפשרות לבצע השוואה ישירה, ויש צורך להשתמש בהרחבה ובצמצום ולמצוא לשני השברים '''מכנה משותף''' - כלומר, מכנה ששניהם יכולים להגיע אליו בדרך של הרחבה או צמצום. לאחר שנשווה את שני המכנים, נוכל למצוא את היחס בין שני השברים באמצעות השוואה פשוטה בין המונים: השבר בעל המונה הגדול יותר הוא השבר הגדול יותר, ואם המונים שווים, השברים שווים זה לזה (כי גם המכנים שווים).
כדי למצוא מכנה משותף, נעקוב אחר הצעדים הבאים:
# נציג את השברים בצורתם המצומצמת ביותר. צעד זה אינו חובה, אך הוא מקל בדרך כלל על מציאת מכנה משותף קטן ככל האפשר.
# נפרק את המכנים של שני המספרים לגורמים ראשוניים.
# נרשום את כל הגורמים הראשוניים של המכנה הראשון.
# נוסיף לגורמים הראשוניים שנרשמו בשלב 3 את הגורמים הראשוניים של המכנה השני, אלא אם כן הם מופיעים כבר במכנה הראשון. נתחשב במספר הפעמים בהן מופיעים הגורמים הראשוניים: למשל, אם במכנה הראשון גורם ראשוני מסוים מופיע 3 פעמים, ובמכנה השני הוא מופיע 5 פעמים, נרשום אותו פעמיים נוספות.
# נכפיל את כל הגורמים הראשוניים שרשמנו. מספר זה הוא המכנה המשותף.
כעת נחלק את המכנה המשותף במכנה של המספר הראשון כדי למצוא בכמה עלינו להרחיב את השבר, ונרחיב אותו במספר זה, כך שהמכנה יהיה המכנה המשותף. נחזור על צעד זה גם במספר השני.
לדוגמה, נשווה בין שני השברים <math>\frac{3}{4}</math> ו-<math>\frac{15}{38}</math>. הגורמים הראשוניים של 4 הם 2 ו-2. הגורמים הראשוניים של 38 הם 19 ו-2. במקרה זה, המכנה המשותף הוא <math>2 \times 2 \times 19 = 76</math>, לכן השבר הראשון הוא <math>\frac{3}{4} = \frac{3 \times 19}{4 \times 19} = \frac{57}{76}</math>, והשבר השני הוא <math>\frac{15}{38} = \frac{15 \times 2}{38 \times 2} = \frac{30}{76}</math>. אם נשווה בין המונים, נקבל כי: <math>\frac{57}{76} > \frac{30}{76}</math>, ועל כן <math>\frac{3}{4} > \frac{15}{38}</math>. לכן השבר הראשון גדול מהשני.
מקרה פרטי פשוט למציאת מכנה משותף הוא מקרה שבו המכנה הראשון מתחלק במכנה השני, או להיפך: במקרה זה מרחיבים את המכנה הקטן יותר בלבד, כיוון שהמכנה המשותף הוא המכנה הגדול יותר.
== חיבור וחיסור שברים פשוטים ==
=== חיבור וחיסור שברים פשוטים בעלי מכנים שווים ===
כאשר המכנים של השברים שווים (לדוגמה, <math>\frac{3}{10}</math> ו-<math>\frac{1}{10}</math>), קל לחבר או לחסר אותם: מוסיפים או מחסרים את המונים זה מזה, והמכנה נשאר זהה. בדרך כלל נרצה להציג את השבר הסופי בצורתו המצומצמת ביותר, כלומר שלעיתים נצטרך לבצע צמצום של התוצאה, אך שלב זה אינו חובה מבחינה מתמטית.
לדוגמה:
* <math>\frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3 + 1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}</math>
* <math>\frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{3 - 1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}</math>
=== חיבור וחיסור שברים פשוטים בעלי מכנים שונים ===
כאשר המכנים שונים זה מזה, עלינו למצוא מכנה משותף לשני השברים, וכך להפוך אותם לבעלי מכנים שווים. אז נוכל לחבר או לחסר את המונים שלהם כמו בסעיף הקודם.
לדוגמה: <math>\frac{1}{6} + \frac{3}{4}</math>. הגורמים הראשוניים של המכנה הראשון הם 3 ו-2, והגורמים הראשוניים של המכנה השני הם 2 ו-2. במקרה זה, המכנה המשותף הוא <math>3 \times 2 \times 2 = 12</math>. נרחיב את שני השברים ונמשיך את התרגיל: <math>\frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{11}{12}</math>.
=== חיבור וחיסור מספרים מעורבים ===
כדי לחבר או לחסר שני מספרים מעורבים, יש לחבר את השברים בנפרד ואת החלקים השלמים בנפרד. לדוגמה:
<math>1\frac{1}{5} + 2\frac{2}{5} = 3\frac{3}{5}</math>. אפשרות אחרת היא להפוך את המספרים המעורבים לשברים מדומים ואז לחבר אותם כרגיל.
== כפל וחילוק שברים פשוטים ==
כפל וחילוק שברים פשוטים אינו דורש הגעה למכנה משותף, והוא פשוט יחסית לחיבור ולחיסור שברים פשוטים.
=== כפל שברים פשוטים ===
כאשר כופלים שברים פשוטים זה בזה, יש להכפיל את המונה של השבר הראשון במונה של השבר השני, ואת המכנה של השבר הראשון במכנה של השבר השני. התוצאות הן המונה החדש והמכנה החדש, בהתאמה. לעיתים ניתן לצמצם את השברים לאחר מכן.
לדוגמה: <math>\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}</math>
ניתן לצמצם את השברים עוד במהלך תרגיל הכפל, כאשר מתייחסים למונים ולמכנים בשני השברים כחלק משבר אחד.
דוגמה לצמצום כזה: <math>\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{1 \times 3}{5 \times 2} = \frac{3}{10}</math>
מקרה פרטי מיוחד הוא מכפלת שבר במספר שלם: במקרה זה המונה של השבר החדש הוא המונה של השבר כפול המספר השלם, והמכנה נשאר כפי שהוא. לדוגמה: <math>\frac{1}{3} \times 2 = \frac{1 \times 2}{3} = \frac{2}{3}</math>. מעובדה זו נגזר שכאשר מכפילים מספר שלם בשבר, ניתן לכתוב אותו במונה או ליד השבר, כרצוננו.
=== חילוק שברים פשוטים ===
כאשר מחלקים שני שברים זה בזה, יש להפוך את השבר השני למספר ההופכי לו, ולכפול את השבר הראשון במספר ההופכי הזה.
לדוגמה: <math>\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{2 \times 4}{5 \times 3} = \frac{8}{15}</math>
במילים אחרות, המונה הוא מכפלת המונה של השבר הראשון והמכנה של השבר השני, והמכנה הוא מכפלת המכנה של השבר הראשון והמונה של השבר השני. כאשר מציגים את תרגיל החילוק כשבר מורכב (כמו בתרגיל לעיל), המונה הוא מכפלת המספרים החיצוניים (למעלה ולמטה), והמכנה הוא מכפלת המספרים הפנימיים.
מקרה פרטי מיוחד הוא חלוקת שבר במספר שלם: במקרה זה המונה של השבר החדש נשאר כפי שהוא, והמכנה של השבר החדש הוא המכנה של השבר כפול המספר השלם. לדוגמה: <math>\frac{\frac{2}{3}}{5} = \frac{2}{3 \times 5} = \frac{2}{15}</math>.
כדי לכפול (או לחלק) מספרים מעורבים זה בזה, יש להמיר אותם קודם לשברים מדומים.
[[קטגוריה:חשבון]]
| |||