מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם ערך מוחלט: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 45:
==אי שוויונים עם שני ערכים מוחלטים או יותר==
כאשר מופיעים שני ערכים מוחלטים באי-שוויון (או יותר), העניינים מתחילים להסתבך. טכניקת הפתרון שונה לחלוטין, וכאן אפרט עליה.<BR><BR>
טכניקת הפתרון בקווים כלליים:<BR>
#מוצאים את כל הערכים המאפסים את הערכים המוחלטים המופיעים באי-שוויון, ומסדרים אותם מהקטן לגדול.
#מחלקים את ציר המספרים כולו לתחומים, לפי הערכים שקיבלנו בסעיף הקודם.
#עבור כל תחום רושמים איך ייראה אי-השוויון, '''תוך השמטת סימני הערך המוחלט'''. למרות שזה נשמע קשה, זה לא עד כדי כך מסובך.
#עבור כל תחום, מאחדים את התוצאה שהתקבלה עם התחום שהוצב (קשר וגם).
#בודקים באופן כללי עבור כל אחד מערכי הגבול (הערכים שהתקבלו בסעיף הראשון)- האם הוא מקיים את האי שוויון?!
#עבור כל התחומים, מאחדים את התשובות (קשר או) ומוסיפים (אם צריך) את ערכי הגבול- וזו התשובה הסופית.
<BR><BR>
נדגים את שלבי הפתרון על אי-השוויון: <math>\ |x-3|+|x+1|>6</math><br>
#הערכים המאפסים את הערכים המוחלטים (לפי הסדר) הם: <math>\ -1, 3</math>.
#התחומים המתקבלים הם:
#*<math>\ x<-1</math>.
#*<math>\ -1<x<3</math>.
#*<math>\ x>3</math>.
#נעשה כאן טבלה, שכותרות העמודות בה יהיו התחומים שקיבלנו בסעיף הקודם, ומתחת יהיה פתרון האי-שוויון לפי השלבים:<BR><BR>
{|border="1" cellspacing="3" cellpadding="4"
|-
! התחום ||<math>\ x<-1</math> || <math>\ -1<x<3</math> || <math>\ x>3</math>
|-
!הסבר
|כאשר ערכו של איקס יהיה קטן מ-(1-) הביטויים שבשני הערכים המוחלטים יהיו שליליים, ולכן מה שהערך המוחלט יעשה לביטוי הוא פשוט להפוך את סימנו. לכן, כדי להשמיט את הערך המוחלט, מה שנעשה הוא במקום סימני הערך המוחלט לשים את הביטוי בסוגריים, '''ולפניו מינוס'''.
|כאשר ערכו של איקס גדול מ-(1-) אבל קטן מ-3 אזי הביטוי בערך המוחלט השמאלי יהא שלילי, ולכן נוריד את סימני הערך המוחלט ונוסיף מינוס לפני (כמובן שנוסיף סוגריים). באותו התחום, ערכו של הביטוי עם הערך המוחלט הימני יהא חיובי, ולכן נוכל פשוט להשמיט את הערך המוחלט.
|כאשר ערכו של איקס גדול מ-3 אזי שני הביטויים בערכים המוחלטים יהיו חיוביים ממילא, ולכן ניתן פשוט להשמיט את סימני הערך המוחלט.
|-
!פתרון התחומים
|<math>\ - (x-3)-(x+1)>6</math><BR><BR>
<math>\ -x+3-x-1>6</math><BR><BR>
<math>\ -2x+2>6</math><BR><BR>
<math>\ -2x>4</math><BR><BR>
<math>\ x<-2</math>
|<math>\ - (x-3)+(x+1)>6</math><BR><BR>
<math>\ -x+3+x+1>6</math><BR><BR>
<math>\ 4>6</math><BR><BR>
<math>\ אין פתרון</math><BR><BR>
|<math>\ (x-3)+(x+1)>6</math><BR><BR>
<math>\ x-3+x+1>6</math><BR><BR>
<math>\ 2x-2>6</math><BR><BR>
<math>\ 2x>8</math><BR><BR>
<math>\ x>4</math><BR><BR>
|-
!איחוד של התחום עם התוצאה
|<math>\ x<-2</math>
|אין פתרון
|<math>\ x>4</math>
|-
!ערכי גבול
|rowspan="3"
{|border="0" cellpadding="6"
|-
|align="left"
<math>\ For x=-1\ :</math><BR><BR>
<math>\ |-4|+|0|>6</math><BR><BR>
<math>\ 4+0>6</math><BR><BR>
<math>\ 4>6</math>
|align="left"
<math> \ For x=3\ :</math><BR><BR>
<math>\ |0|+|4|>6</math><BR><BR>
<math>\ 4>6</math>
|-
'''אף אחד מערכי הגבול אינו מקיים את האי-שוויון, ולכן אינו מהווה פתרון.
|}
|-
!הפתרון הסופי
|rowspan="3" | <math>\ x<-2\ or\ x>4</math>
|}
| |||