|
*כמו במשוואות, ניתן לחלק את שני האגפים של אי-השוויון באותו מספר, '''בתנאי שהוא חיובי'''. אם מספר החלוקה שלילי, '''יש להפוך את סימן אי-השוויון'''.
*כמו במשוואות, אם מחברים אי-שוויונים בעלי אותו כיוון באגפיהם המתאימים מקבלים אי-שוויון נכון בכל אותו כיוון. דוגמה:<br>
אם <math>\ a>b</math> ו-<math>\ c>d</math> אז<br>
<math>\ a+c>b+d</math>
<Br><Br>
בד"כ מתעסקים באי-שוויונים בהם מופיעים משתנים. פתרון אי-שוויון בעל משתנה פירושו יהיה למצוא עבור אילו ערכים של המשתנה אי-השוויון מתקיים. בשונה מפתרון משוואות בהן התשובה בד"כ כוללת פתרון אחד או שניים, הרי שבפתרון אי-שוויונים מתקבל בד"כ '''תחום''', כלומר קבוצה של ערכים עבורה מתקיים האי-שוויון.<BR><BR>
טכניקת הפתרון היא שונה לסוגים שונים של אי-שיוויונים. בפרק זה אציג את טכניקות הפתרון של כל הסוגים של אי-השוויונים הקיימים שנלמדים בתיכון, למעט אי-שוויונים מעריכיים, אשר יילמדו בהמשך. תוכן העניינים:<BR>
==[[אלגברה תיכונית/אי- שיויונים ממעלה ראשונה|אי שוויונים ממעלה ראשונה==]]<BR>
[[אלגברה תיכונית/אי שיויונים ממעלה שנייה|אי שוויונים ממעלה שנייה]]<BR>
===אי-שוויון בודד===
[[אלגברה תיכונית/אי שיויונים עם שורשים|אי שוויונים עם שורשים]]<BR>
שיטת הפתרון של אי-שוויונים כאלו היא זהה לשיטת הפתרון של משוואות, למעט ההבדל שצוין לעיל (כפל או חלוקה במספר שלילי הופכים את סימן אי-השוויון). דוגמאות:<br><br>
[[אלגברה תיכונית/אי שיויונים עם ערך מוחלט|אי שוויונים עם ערך מוחלט]]<BR>
'''דוגמה 1'''<br>
[[אלגברה תיכונית/אי שיויונים עם שברים|אי שוויונים עם שברים]]<BR>
<math>\frac{x+1}{2}-\frac{x-1}{3}<\frac{x+2}{6}</math><br>
[[אלגברה תיכונית/אי שיויונים ממעלה שלישית או יותר|אי שוויונים ממעלה שלישית או יותר]]<BR>
מכפילים את אי-השוויון במכנה המשותף- 6. שימו לב- המכנה המשותף חיובי, ולכן סימן אי-השוויון נשאר כמות שהוא.<br>
<math>\ 3(x+1)-2(x-1)<x+2</math><br><br>
<math>\ 3x+3-2x+2<x+2</math><br><br>
<math>\ x+5<x+2</math><br><Br>
<math>\ 5<2</math><br><br>
כלומר לאי-שוויון זה אין פתרון עבור כל ערך של איקס. כלומר, לא משנה איזה ערך איקס נציב, אי השוויון לא יתקיים לעולם (וזאת משום שקיבלנו פסוק שקר- 5 לא קטן מ-2).
<br><br>
'''דוגמה 2'''<br>
<math>\frac{4(x+2)}{9}-\frac{17-2x}{36}<\frac{2x}{3}</math><br>
מכפילים במכנה המשותף-36. גם כאן אנו מכפילים במספר חיובי, ולכן אין צורך בשינוי הסימן.<br>
<math>\ 16(x+2)-(17-2x)<24x</math><br><Br>
<math>\ 16x+32-17+2x<24x</math><br><br>
<math>\ 18x+15<24x</math><br><br>
<math>\ 15<6x</math><br><br>
<math>\ 2.5<x</math><br><Br>
כלומר עבור כל ערך שנציב במקום איקס שגדול מ-2.5, נקבל כי אי-השוויון הוא פסוק אמת.
===מערכת של אי שוויונים===
ייתכנו מצבים, בהם תתבקשו לפתור '''מערכת של אי-שוויונים'''. במצב זה, יינתנו לכם 2 אי-שוויונים, כאשר ביניהם תבוא מילה: '''או''' (נקרא גם '''איחוד''') או '''וגם''' (נקרא גם '''חיתוך'''). להלן השלבים בפתרון מערכת אי-שוויונים:
#ראשית, יש לפתור כל אחד מאי-השוויונים הנתונים '''בנפרד''', ולהגיע לאי-שוויון פשוט (איקס גדול או קטן מ-___).
#שנית, יש לבדוק את הקשר הלוגי בין שני הביטויים:
#*בקשר '''או''', יש למצוא את התחום הכולל לשני האי-שוויונים הפשוטים (הסבר מיד).
#*בקשר '''וגם''', יש למצוא את התחום המשותף לשני האי-שוויונים (הסבר מיד).
#לבסוף יש לרשום את הפתרון הסופי (התחום הנדרש).
<br><br>
כדי להקל על מציאת התחום הנדרש, ישנה שיטה. לפי שיטה זו, יש לשרטט בתחילה ציר מספרים אופקי. עליו, יש לשרטט את התחומים באופן הבא:
משרטטים כל תחום בנפרד, כאשר תחום הכולל את הערך יסומן בעיגול מלא, לעומת תחום שאינו כולל את הערך שהוא יסומן בעזרת עיגול ריק. מלבד העיגולים, כמובן שיש לשרטט קווים היוצאים מהעיגולים, ואלו יסמנו את התחום (דוגמה בהמשך). עכשיו, למציאת הפתרון:<br>
בקשר '''או''', יש לחפש את הערכים עבורם יש קו אחד (או יותר). בקשר '''וגם''' יש לחפש את הערכים עבורם יש שני קווים (ולא פחות!).<br><br>
'''דוגמה 1'''<Br>
נתונים שני האי-שוויונים הבאים:<br><br>
(1) <math>\ 2x-6 \ge 0 </math><br><br>
(2) <math>\ x-4 < 4 </math>
<br><br>
א. מצא את התחום המשותף (קשר וגם, חיתוך).
ב. מצא את התחום הכולל (קשר או, איחוד).<br>
ראשית, נפתור כל אחד מהאי-שוויונים בנפרד:<br><Br>
(1) <math>\ x \ge 3 </math><br><Br>
(2) <math>\ x < 8 </math><br><br>
כעת, נסמן את שני התחומים על '''אותו''' ציר מספרים:<br>
<center>[[תמונה:tzir.png]]</center>
<br>כמו שצוין, התחום המשותף (וגם, חיתוך) הוא המקום בו ישנם שני קווים, כלומר במקרה שלנו התחום בין 3 (כולל) ל-8 (לא כולל). לכן התשובה לסעיף א' היא: <math>\ 3 \le x < 8</math>. <br>
התחום הכולל (איחוד, או) הוא המקום בו יש קו אחד, ובמקרה שלנו זה כל ציר המספרים, כלומר '''כל איקס''' (וזוהי התשובה לסעיף ב').
שימו לב- גם ב-x=8 יש קו אחד, ולכן גם הוא בתחום.
<br><BR>
'''דוגמה 2'''<br>
נתונים שני האי-שוויונים הבאים:<br><br>
(1) <math>\ x < 6 </math><br><br>
(2) <math>\ x+1 < 4 </math>
<br><br>
א. מצא את התחום המשותף (קשר וגם, חיתוך).
ב. מצא את התחום הכולל (קשר או, איחוד).<br>
ראשית, נפתור כל אחד מהאי-שוויונים בנפרד:<br><Br>
(1) <math>\ x < 6 </math><br><Br>
(2) <math>\ x < 3 </math><br><br>
כעת נסמן את שני התחומים על '''אותו''' ציר מספרים:<br>
<center>[[תמונה:tzir1.PNG]]</center>
<br>כמו שצוין, התחום המשותף (וגם) הוא המקום בו ישנם שני קווים, כלומר במקרה שלנו בכל איקס שקטן משלוש. כלומר התשובה לסעיף א' היא <math>\ x < 3 </math>.<br>
התשובה לסעיף ב', כלומר שני אי-השוויונים בקשר של '''ואו''' היא המקום בו יש קו אחד או יותר, כלומר <math>\ x < 6 </math>.
===תרגילים===
לפניך מספר מערכות של אי-שוויונים בנעלם אחד ממעלה ראשונה. מצא לכל מערכת את:<br>
א. פתרון המערכת בקשר של '''וגם'''.<br>
ב. פתרון המערכת בקשר של '''או'''. <br>
<br>
<!-- הטבלה כאן היא לשם הצגת התרגילים באופן ויזואלי יפה-->
<table border=1 cellspacing="4" cellpadding="5">
<tr>
<td>מס' התרגיל</td>
<td>מס' אי-השוויון במערכת</td>
<td>אי-השוויון</td>
</tr>
<Tr>
<td align="center" rowspan="2">1</td>
<td align="center"><math>\ (1)</math></td>
<td align="center"><math>\frac{-4x-1}{12}>\frac{1}{4}-\frac{7-x}{3}</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center"><math>\ (2)</math></td>
<td align="center"><math>\ 3x-\frac{x-2}{2} \le \frac{6x-1}{2}</math></td>
</tr>
<Tr>
<td align="center" rowspan="2">2</td>
<td align="center"><math>\ (1)</math></td>
<td align="center"><math>\ 4(\frac{4x+6}{4})^2 < (2x-4)^2+28</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center"><math>\ (2)</math></td>
<td align="center"><math>\ -3 \le x \le 2</math></td>
</tr>
</table>
==אי-שוויונים ממעלה שנייה (ריבועיים)==
לפתרון אי-שוויונים ממעלה שנייה ישנה טכניקה שונה מהטכניקה לפתרון אי-שוויונים ממעלה ראשונה. הטכניקה לפתרון אי-שוויונים ריבועיים היא לצייר בקירוב גס את הפונקציה (על ציר ה-X בלבד- הסבר בהמשך), ולראות מתי היא קטנה או גדולה מאפס. ניקח דוגמה: <br>
<math>\ 2x^2-8x<-6</math></br>
ראשית נפשט את הביטוי- ונעביר את '''כל האיברים''' לאגף אחד בלבד. כדאי ורצוי להעביר לאגף בו המקדם של <math>\ x^2</math> (a) חיובי (שיקולי נוחות).<br>
<math>\ 2x^2-8x+6<0</math></br>
<math>\ x^2-4x+3<0</math><br>
כעת מה שנעשה הוא שלב עזר- נשווה את הביטוי שבאגף שמאל לאפס (משוואה), ונמצא את שורשי המשוואה. <br>
<math>\ x^2-4x+3=0</math></br>
<math>\ X=\frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4*1*3}}{2*1}=\frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}=\frac{4 \pm 2}{2}</math><br>
<math>\ x_1=\frac{4+2}{2}=3</math><br>
<math>\ x_2=\frac{4-2}{2}=1</math><Br>
עכשיו משמצאנו את שורשי המשוואה, נוכל לשרטט את הפונקציה בקירוב גס (ואין צורך ביותר מזה):<br>
[[תמונה:Inequality1.PNG]]
</br>
כעתן ניתן לראות, שהביטוי הנ"ל קטן מ-0 (כי ביקשו קטן) כאשר ערכי איקס הינם בין 1 ל-3. כלומר פתרון אי-השוויון הוא:<br>
<math>\ 1<x<3</math></br>
אגב, אם היו מבקשים מתי אי-השוויון המפורש (לאחר שפישטנו אותו) גדול מ-0, אזי הפתרון היה <math>\ x>3\ or\ x<1</math>.<br>
===באופן כללי===
שלבי הפתרון של אי-שוויון ריבועי:
#מפשטים את אי-השוויון למצב שכל האיברים באגף מסוים.
#אם יש צורך, מכפילים את המשוואה ב-(1-) כדי שהמקדם של <math>\ x^2</math> יהיה חיובי.
#משווים ל-0 ומוצאים את שורשי המשוואה (<math>\ x_1</math> ו-<math>\ x_2</math>).
#משרטטים ציר איקס '''בלבד''', מסמנים עליו את השורשים, ומשרטטים פרבולה "מחייכת" (היא "מחייכת" כי דאגנו שהמקדם של האיקס בריבוע יהא חיובי. אם לא דאגנו לכך, יש לצייר את הפרבולה "עצובה").
#בודקים איזה תחום נדרש מאיתנו (גדול או קטן מאפס) ומוצאים את התחום הזה בגרף.
#רושמים את הפתרון.
<br>
<font size=3>'''ובאופן עוד יותר כללי'''</font><BR>
קיים אי שוויון ריבועי. שורשי הביטוי הריבועי הם <math>\ x_1</math> ו-<math>\ x_2</math>. בהנחה ש- <math>\ x_1>x_2</math> אזי:<Br>
א. אם הביטוי הריבועי קטן מאפס- אזי הפתרון הוא מערכת וגם: <math>\ x_2<x<x_1</math><br>
ב. אם הביטוי הריבועי גדול מאפס- אזי הפתרון הוא מערכת או: <math>\ x>x_1\ or\ x<x_2</math> <br><br>
ניתן להבין את קביעה זו לפי הגרף הבא:<br>
[[תמונה:Inequality2.PNG]]<br><BR>
<font size="4"><u>'''אי-שוויונים ריבועיים מיוחדים'''</u><Br></font>
לעתים מופיעים תרגילים בהם נדרשת הוכחה כי אי-שוויון מסוים מתקיים לכל ערך של איקס, או לא מתקיים עבור אף ערך של איקס וכו'. בסעיף זה נלמד כיצד לפתור שאלות מסוג זה.<br>
למדנו כי המקדם של <math>x^2</math> מלמד על צורתה של הפונקציה: "מחייכת" או "עצובה". נלמד כעת תכונה נוספת של ביטויים ריבועיים:<BR>
כידוע, הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית היא <math>\ X=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>. הביטוי שנמצא מתחת לשורש (<math>b^2-4ac</math>) נקרא '''דלתא''' או '''[[w:דיסקרימיננטה|דיסקרימיננטה]]''' ומסומן ב-<math>\ \Delta</math> . לדלתא משמעות רבה לגבי צורת הגרף:
*כאשר הדלתא גדולה מאפס, לגרף של הביטוי הריבועי יש '''שתי נקודות חיתוך''' עם ציר האיקס.
*כאשר הדלתא שווה לאפס, לגרף של הביטוי הריבועי יש '''נקודת חיתוך אחת''' עם ציר האיקס (הגרף בעצם משיק לציר האיקס).
*כאשר הדלתא קטנה מאפס, לגרף של הביטוי הריבועי '''אין נקודות חיתוך''' עם ציר האיקס.
כאשר יודעים את המקדם של ה-<math>x^2</math> (a) ואת הדלתא, ניתן לשרטט (בקירוב אמנם, אך אין צורך ביותר מזה) את גרף הפונקציה. שרטוט גרף הפונקציה בעזרת מרכיבים אלו מאפשר לנו להוכיח ולפתור אי-שוויונים מעט יותר מורכבים. דוגמאות:<br><Br>
'''דוגמה 1'''<BR>
הוכח כי אי-השוויון <math>\ x^2-2x+1 \ge 0</math> מתקיים עבור כל ערך של איקס (ניסוחים אחרים: ננכון עבור כל איקס, נכון תמיד).<BR>
לפתרון שאלה זו שתי דרכים:<BR>
א. הדרך הרלוונטית לנו: שרטוט הגרף. בכדי לשרטט את הגרף נזדקק לשני נתונים הכרחיים: a והדלתא.<BR>
נוכל לראות כי <math>\ a=1>0</math>, כלומר הפונקציה מחייכת. שנית, נחשב את הדלתא:<BR>
<math>\ \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 1=4-4=0</math><BR>
קיבלנו כי הדלתא שווה לאפס, כלומר לגרף הפונקצייה נקודה אחת משותפת עם ציר ה-X (הגרף משיק לציר ה-X). כעת נוכל לשרטט בקירוב את גרף הפונקציה:<BR>
[[תמונה:Inequality3.PNG]]<BR>
מכאן נוכל לראות שאכן הביטוי הריבועי '''תמיד''' גדול או שווה ל-0 (הוא תמיד מעל (או על) ציר האיקס).
<BR><BR>
ב. דרך שנייה היא לאלו מבינינו ששמו לב שמדובר בנוסחת כפל מקוצר. לכן:<BR>
<math>\ x^2-2x+1=(x-1)^2</math><BR>
וכידוע, ביטוי ריבועי '''תמיד''' גדול או שווה לאפס.
<BR><BR>
'''דוגמה 2'''<BR>
הוכח כי עבור כל ערך של איקס הביטוי <math>\ -x^2+5x-7</math> שלילי. <BR><BR>
שוב, כדי לפתור שאלה זו מה שנעשה הוא ננסה לצייר את הפונקציה, וכך נוכיח את נכונות הטענה. בכדי לצייר את הפונקציה, אנו זקוקים לפרמטר a (המקדם של ה-<math>\ x^2</math>) ולדיסקרימננטה. נבדוק את הפרמטרים:<BR>
*<math>\ a=-1<0</math>- שלילי.
*<math>\ \Delta=5^2-4 \cdot (-1) \cdot (-7)=25-28=-3<0</math>, כלומר הדלתא שלילית גם כן.<BR>
משני נתונים אלו נוכל להסיק כי הפרבולה עצובה, וכי אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה-X. נצייר:<BR>
[[תמונה:Inequality4.PNG]]<BR>
נוכל לראות מהגרף כי גרף הפונקציה נמצא '''תמיד''' מתחת לציר ה-X, כלומר תמיד שלילי. (בכך הוכחה הטענה)
===אי-שוויונים עם ערך מוחלט===
לפני שנתחיל נראה את הגדרת הערך המוחלט:<br>
<math>|x|=\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{if }x \ge 0 \\ -x, & \mbox{if }x<0 \end{matrix}\right. </math>
<br>
משמעות ההגדרה, היא כי הערך המוחלט של כל מספר הוא בעצם מרחקו מהאפס. כלומר, מרחקו של 6- מה-0 זהה למרחקו של 6 מהאפס, כלומר הערך המוחלט שלהם שווה. (בכלליות ניתן לומר כי <math>\ |x|=|-x|</math>)<br>
[[קטגוריה:מתמטיקה]]
| 