מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/מבוא

מהי סדרה?

ניתן לחשוב על סדרה כעל אוסף של מספרים המסודרים בזה אחר זה. הנה מספר דוגמאות לסדרות:

• $\ 1,2,3,4,5$
• $\ 1,1,1$
• $\ 2,5,-3,17.3,2,4$

בשלוש הדוגמאות שלנו כתבנו את איברי הסדרה משמאל לימין על פי הסדר, כאשר בין כל שני איברים סמוכים מפריד פסיק. בסדרה הראשונה האיבר הראשון הוא $\ 1$, האיבר השני הוא $\ 2$ וכן הלאה. בסדרה השניה כל האיברים הם $\ 1$. בסדרה השלישית האיבר הראשון הוא $\ 2$ וגם האיבר החמישי הוא $\ 2$. מכאן אנחנו רואים כי סדרה יכולה להכיל את אותו מספר ביותר מאשר מקום אחד, והמספרים לא חייבים להיות מסודרים על פי גודלם.

כתיבת סדרות

ישנן מספר דרכים לכתוב סדרה. הדרך הבסיסית היא זו שראינו כבר, של כתיבת כל איבריה בזה אחר זה:

• $\ 1,2,4,8,16$

שיטת כתיבה זו היא בעייתית בסדרות ארוכות, וגם בסדרות קצרות ישנן לעתים שיטות ייצוג שהן נוחות יותר. נראה כעת את שיטות הייצוג המקובלות.

שיטת הכתיבה הכללית

נהוג לסמן סדרות באמצעות אותיות לטיניות מתחילת האלף בית, ואיברים בסדרה באמצעות האות ומספר קטן לידם שמציין את מיקומם בסדרה. למשל $\ a_{4}$ פירושו האיבר הרביעי בסדרה $\ a$. לעתים לא רוצים להתייחס לאיבר ספציפי אלא לאיבר כללי, ואז משתמשים לרוב בסימון $\ a_{n}$, כאשר ה-$\ n$ הוא משתנה שיכול להיות כל מספר שלא גדול ממספרם של אברי הסדרה. נראה כעת את השימוש בסימן זה.

ייצוג באמצעות נוסחה לאיבר הכללי

לעתים קרובות קיים קשר מתמטי בין האיבר בסדרה ובין ערכו המספרי. במקרה זה נוח מאוד לכתוב את הסדרה בעזרת קשר זה. ניתן מספר דוגמאות.

דוגמה 1

נביט בסדרה

• $\ 2,4,6,8,10$

סדרה זו מכילה חמישה איברים, שערכו של כל אחד מהם הוא פי שתיים ממקומו בסדרה. כלומר, האיבר שנמצא במקום ה-$\ n$ (כאשר $\ n$ מקבל ערכים בין $\ 1$ ו-$\ 5$) הוא בעל הערך $\ 2n$. לכן ניתן לתאר את הסדרה באמצעות הנוסחה הבאה:

• $\ a_{n}=2n$.

דוגמה 2

נביט בסדרה

• $\ 2,4,8,16,32$

כאן הסדרה מכילה חזקות של המספר $\ 2$, בהתאם למיקום האיבר בסדרה. הנוסחה הכללית תהיה:

• $\ a_{n}=2^{n}$.

ייצוג באמצעות נוסחת נסיגה

לעתים נוח להציג איבר בסדרה כפונקציה של האיברים שבאו לפניו. נביא כאן את הדוגמה הקלאסית לסדרה שכזו:

סדרת פיבונאצ'י

נניח שאנחנו מגדלים ארנבים, ומתחילים כשבחצר שלנו זוג ארנבים בוגר אחד. בתוך חודש הופכים כל ארנבים הצעירים ארנבים בוגרים, וכל זוג של ארנבים בוגרים מוליד זוג של ארנבים צעירים. נניח גם כי אף ארנב לא מת. כמה זוגות של ארנבים בוגרים יש בחודש ה-$\ n$?

בחודש הראשון יש זוג בודד. בחודש השני הזוג הבודד הוליד זוג ארנבים חדש, אבל הארנבים הללו צעירים, ולכן יש עדיין זוג בודד של ארנבים בוגרים. בחודש השלישי הזוג הצעיר התבגר, והזוג הבוגר הוליד זוג צעיר נוסף, ולכן יש 2 זוגות של ארנבים בוגרים, וזוג ארנבים צעירים. בחודש הבא הזוג הזה מתבגר ולכן יהיו 3 זוגות של ארנבים בוגרים, ויוולדו 2 זוגות של ארנבים צעירים. נכתוב כסדרה את מספר זוגות הארנבים הבוגרים:

• $\ 1,1,2,3,5,8,13,21,\dots$

סדרה זו נקראת סדרת פיבונאצ'י והיא אחת מהסדרות המפורסמות ביותר במתמטיקה. לסדרת פיבונאצ'י תכונות רבות ומפתיעות שקושרות אותה לרבים מתחומי המתמטיקה. הסדרה כה ידועה, עד כי קיים רבעון מתמטי העוסק בה ובתכונותיה.

הסדרה ניתנת לתיאור פשוט בצורה הבאה: שני האיברים הראשונים שלה הם 1, וכל איבר החל מהאיבר השלישי הוא סכום שני האיברים שקדמו לו. ניתן לכתוב זאת כך:

• $\ a_{1}=1$
• $\ a_{2}=1$
• $\ a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ לכל $\ n\geq 3$

תיאור זה מכונה נוסחת נסיגה: הסיבה לשם היא שכדי לחשב את האיבר ה-$\ n$ אנחנו "נסוגים" לאיברים קודמים יותר, עד שאנחנו מגיעים לאיברים הבסיסיים ביותר שעבורם יש לנו הגדרה מפורשת.

נשים לב שכאן לא הגבלנו את מספר האיברים בסדרה, והמשתנה $\ n$ יכול לקבל כל ערך טבעי שהוא. לסדרה כזו אנו קוראים סדרה אינסופית. שלוש הנקודות שהופיעו בתיאור של הסדרה למעלה שבו כתבנו את איבריה מסמנות שהסדרה לא נגמרת במקום הופעתן אלא ממשיכה עד אינסוף.

בחזרה לארנבים, מדוע סדרת פיבונאצ'י אכן מתארת אותם? בכל חודש מספר זוגות הארנבים הבוגרים הוא מספר זוגות הארנבים שהיו בוגרים גם בחודש הקודם, ועוד מספר זוגות הארנבים שהיו צעירים בחודש הקודם, שכן מאז הם התבגרו. מספר זוגות הארנבים שהיו בוגרים גם בחודש הקודם הוא $\ a_{n-1}$. מספר זוגות הארנבים הצעירים שהיו בחודש הקודם שווה למספר זוגות הארנבים שהיו בוגרים לפני חודשיים, כלומר $\ a_{n-2}$, שכן כל זוג ארנבים בוגר ממליט זוג ארנבים צעיר אחד, ולכן בכל חודש מספר זוגות הארנבים הצעירים שווה למספר זוגות הארנבים שהיו בוגרים בחודש הקודם.

שימוש בנוסחאות נסיגה

באופן כללי, נוסחת נסיגה היא נוסחה כללית שבה האיבר ה-$\ n$ נתון על ידי חלק מהאיברים שקדמו לו. הנה עוד כמה דוגמאות לנוסחאות נסיגה:

• $\ a_{n}=2a_{n-1}$
• $\ a_{n}=a_{n-3}\cdot a_{n-5}$
• $\ a_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n-3}}}$

בכל הנוסחאות הללו נדרשים גם תנאי התחלה - תיאור מפורש של ערכם של האיברים הראשונים של הסדרה. באופן כללי, אם מופיע בנוסחת הנסיגה האיבר $\ a_{n-k}$ נצטרך לדעת לפחות את $\ k$ האיברים הראשונים. בדוגמה הראשונה שהבאנו כאן מספיק לדעת את האיבר הראשון, אבל בדוגמה השנייה יש לדעת את חמשת האיברים הראשונים, ובשלישית את שלושת האיברים הראשונים.

תנאי התחלה שונים יכולים להביא לסדרות שונות. אפשר למשל לבחור להתחיל את סדרת פיבונאצ'י לא מצמד המספרים 1 ו-1, אלא מהמספרים $\ -4$ ו-$\ 2$. במקרה זה נקבל את הסדרה הבאה:

• $\ -4,2,-2,0,-2,-2,-4,-6\dots$

וקיבלנו סדרה שונה לגמרי, למרות שכלל הנסיגה היה זהה.

נוסחאות נסיגה נוחות מאוד לשימוש ולהבנה, אבל לא קל לחשב מהן את האיבר ה-$\ n$ עבור ערכים גדולים של $\ n$. נסו למשל לחשב את האיבר ה-$\ 20$ של סדרת פיבונאצ'י: לשם כך יש לחשב את כל $\ 19$ האיברים הראשונים קודם! המצב נהיה חמור בהרבה כאשר רוצים את האיבר ה-$\ 1,000$, למשל. על כן, לעתים מחפשים דרך לעבור מנוסחת נסיגה לנוסחה לאיבר הכללי שאינה תלויה באיברים הקודמים. נעסוק בכך בהמשך.

הפרק הקודם: סדרות

מבוא תרגילים

הפרק הבא: סדרות חשבוניות