מתמטיקה תיכונית/הסתברות/הקדמה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
דרורק (שיחה | תרומות)
הסבר בדף השיחה
מ תקלדה
שורה 1:
==הגדרה==
'''הסתברות''' היא מושג מתמטי שימושי עד מאוד אשר נותן ערך כמותי ל"סבירות" להתרחשות מאורע כלשהו. לעיתים קרובות נמצא את עצמנו במצב שבו קיימת אי-וודאות לגבי חיזוי תוצאה של ניסוי, למשל [[W:עץ או פלי|הטלת מטבע]] שבה אין לנו היכולת לחזות מראש את התוצאה. תורת ההסתברות מאפשרת לנו במקרה הזה לדעת כמה פעמים נקבל עץ וכמה פעמים נקבל פלי, או במקרים מעט מסובכים יותר, למשל במקרה של [[w:פוקר|פוקר]] מה הסיכוי לקבל יד מנצחת בהנתן הקלפים שכבר על השולחן. במילים אחרות, תורת ההסתברות היא התורה שמסבירה את המושג "מזל", והיא התורה אשר בזכות תוצאותיה מתאפשר קיומם של מוסדות רבים כגון ביטוח, בנקים והימורים. כמו-כן מדעים רבים מתבססים על תורה זו. למשל מדע הרפואה והפרמקולוגיה, פיזיקה ניסיונית, פיזיקה קוונטית, פיזיקה של מוליכים למחצה (מה שמאפשר את קיום המחשבים) ועוד מדעים רבים אחרים.
'''הסתברות''' היא הסיכוי להתרחשות מאורע מסוים.
 
'''הסתברות''' היא מושג מתמטי שימושי עד מאוד אשר נותן ערך כמותי ל"סבירות" להתרחשות מאורע כלשהו. לעיתים קרובות, נמצא את עצמנו במצב שבו קיימת אי-וודאות לגבי חיזוי תוצאה של ניסוי שבו אין לנו היכולת לחזות מראש את התוצאה, למשל [[W:עץ או פלי|הטלת מטבע]]. שבהתורת איןההסתברות מאפשרת לנו היכולתבמקרים לחזותכאלו מראשלדעת אתמהו התוצאה.הסיכוי תורתלקבלת ההסתברותמאורע מאפשרתמסויים, לנו במקרה הזה לדעתלמשל, כמה פעמים נקבל עץ, וכמהכמה פעמים נקבל פלי, וכן הלאה. או במקרים מעט מסובכים יותר, למשל במקרה של [[w:פוקר|פוקר]], מה הסיכוי לקבל יד מנצחת בהנתן הקלפים שכבר על השולחן. במילים אחרות, תורת ההסתברות היא התורה שמסבירה את המושג "מזל", והיא התורה אשר בזכותובזכות תוצאותיה מתאפשר קיומם של מוסדות רבים, כגון : ביטוח, בנקים והימורים. כמו-כן, מדעים רבים מתבססים על תורה זו., למשלבניהם : מדע הרפואה והפרמקולוגיה, פיזיקה ניסיונית, פיזיקה קוונטית, פיזיקה של מוליכים למחצה (מה שמאפשר את קיום המחשבים) ועוד מדעים רבים אחרים.
 
==גורמים להסתברכות==
תורת ההסתברות עוסקת בחיזוי של תוצאות '''ניסויים''' אשר בהם קיים חוסר וודאות. חוסא הוודאות של מאורע, ולכן הצורך בחישוב או הערכה של ההסתברות שלו, עשויים לנבוע משני גורמים:
* חוסר ודאות הנובע מהאקראיותמה'''אקראיות שבטבע'''. למשל:
**מזג האויר. - כידוע לא ניתן לחזות את מזג האויר באופן מדויק לאורך כל השנה, אך ניתן לחזות (בערך) מה תהיה כמות הגשמים שתרד בשנה מסוימת. חיזויים אלו אינם "מדוייקים" (כמובן שלא קיים חיזוי של מאורע כלשהו שהוא מדויק לחלוטין) אך ניתן לדעת מה תהיה ההסתברות שאכן חיזוי מסויים יתממש.
**התפרקות חומר רדיואקטיבי. - אין אנו יכולים לדעת באיזה אטום ספציפי ובאיזה מועד מדוייק תתרחש ההתפרקות הבאה, אם כי ניתן לדעת זאת במונחים סטטיסטיים-הסתברותיים.
**מזג האויר. כידוע לא ניתן לחזות את מזג האויר באופן מדויק לאורך כל השנה, אך ניתן לחזות (בערך) מה תהיה כמות הגשמים שתרד בשנה מסוימת. חיזויים אלו אינם "מדוייקים" (כמובן שלא קיים חיזוי של מאורע כלשהו שהוא מדויק לחלוטין) אך ניתן לדעת מה תהיה ההסתברות שאכן חיזוי מסויים יתממש.
* חוסר ודאות הנובע ממידעמ'''מידע חלקי''' הנמצא בידינו. דוגמה לכך היא הטלת מטבע, שעשויה להסתיים באחת משתי תוצאות אפשריות, בלא שתהיה לנו דרך לחזות איזה תוצאה תצא בהטלה מסוימת, אם כי, בהינתן כל הנתונים הפיזיקליים הרלבנטיים - ניתן תיאורטית לחשב את התוצאה (בהנחה שהמטבע מתנהג לחלוטין על פי חוקי הפיזיקה הקלאסית). דוגמה נוספת היא היא השאלה "האם בשבוע הבא תפרוץ מלחמה?", שעליה נדרש המודיעין לענות. אף שייתכן שהאויב יודע תשובה ברורה לשאלה זו, כפי שהיה המצב ערב מלחמת יום הכיפורים, המידע שבידי המודיעין הוא מידע חלקי, שלפיו יש לתת הערכה להסתברות של מאורע זה.
 
==מה ההבדל בין אחוזים להסתברות?==
* חוסר ודאות הנובע ממידע חלקי הנמצא בידינו. דוגמה לכך היא הטלת מטבע, שעשויה להסתיים באחת משתי תוצאות אפשריות, בלא שתהיה לנו דרך לחזות איזה תוצאה תצא בהטלה מסוימת, אם כי, בהינתן כל הנתונים הפיזיקליים הרלבנטיים - ניתן תיאורטית לחשב את התוצאה (בהנחה שהמטבע מתנהג לחלוטין על פי חוקי הפיזיקה הקלאסית). דוגמה נוספת היא היא השאלה "האם בשבוע הבא תפרוץ מלחמה?", שעליה נדרש המודיעין לענות. אף שייתכן שהאויב יודע תשובה ברורה לשאלה זו, כפי שהיה המצב ערב מלחמת יום הכיפורים, המידע שבידי המודיעין הוא מידע חלקי, שלפיו יש לתת הערכה להסתברות של מאורע זה.
כאשר אנו [[W:עץ או פלי|מטילים מטבע]], קל לומר באופן אינטואיטיבי שההסתברות שהוא ייפול על "עץ" היא 50%. בקביעה זו חסרה עדיין הגדרה פורמלית של המושג הסתברות., כיוון כאשרשכאשר אנו מטילים מטבע 10 פעמים, נוכל לצפות שב-5 מקרים ייצא "עץ" וב-5 מקרים ייצא "פלי", אך ברור שאין כל ודאות בכך - ייתכן שבכל 10 ההטלות התוצאה תצא "עץ". מהי, אם כן, המשמעות של "הסתברות של 50%" בהקשר זה? התשובה של תורת ההסתברות לשאלה זו היא שההסתברות משקפת את השכיחותה'''שכיחות היחסית במספר גדל והולך של ניסיונות'''.
 
דוגמה: אם המטבע שקול (אינו מזויף, כלומר עגול לחלוטין, בעל גובה אחיד בדיוק וצפיפות המסה שלו שווה בכל חלקיו), ומוטל באופן שאין דרך לדעת מראש אם תוצאת הטלתו תהיה "עץ" או "פלי", ההנחה המקובלת היא שקיימת '''הסתברות שווה לכל אחת משתי התוצאות''' האפשריות (התוצאה שהמטבע ייפול ויעמוד על קצהו אינה מובאת בחשבון). ניתן לנבא כי במספר גדול של הטלות, מחציתן (בקירוב) יקבלו את הערך "עץ" ומחציתן (בקירוב) - את הערך "פלי". '''ככל שיגדל מספר ההטלות, כן תשאף התפלגותן ליחס 50:50'''. במהלך המאה ה-17, ובמהלך השנים בכלל, נערכו ניסויים רבים ובהם בדקו את ההסתברות בהטלת מטבע. במהלך הניסויים הטילו מטבע מאות אלפי פעמים, ונוכחו לגלות שבכל פעם התפלגות התוצאות הייתה קרובה ליחס 50:50 ובדרך כלל, ככל שגדל מספר הניסויים - כן התקרבו התוצאות ליחס זה. בעקבות ניסויים אלה התפתחה תורת ההסתברות.
כאשר אנו [[W:עץ או פלי|מטילים מטבע]], קל לומר באופן אינטואיטיבי שההסתברות שהוא ייפול על "עץ" היא 50%. בקביעה זו חסרה עדיין הגדרה פורמלית של המושג הסתברות. כאשר אנו מטילים מטבע 10 פעמים, נוכל לצפות שב-5 מקרים ייצא "עץ" וב-5 מקרים ייצא "פלי", אך ברור שאין כל ודאות בכך - ייתכן שבכל 10 ההטלות התוצאה תצא "עץ". מהי, אם כן, המשמעות של "הסתברות של 50%" בהקשר זה? התשובה של תורת ההסתברות לשאלה זו היא שההסתברות משקפת את השכיחות היחסית במספר גדל והולך של ניסיונות.
 
<div style="text-align: center;">
דוגמה: אם המטבע שקול (אינו מזויף, כלומר עגול לחלוטין, בעל גובה אחיד בדיוק וצפיפות המסה שלו שווה בכל חלקיו), ומוטל באופן שאין דרך לדעת מראש אם תוצאת הטלתו תהיה "עץ" או "פלי", ההנחה המקובלת היא שקיימת הסתברות שווה לכל אחת משתי התוצאות האפשריות (התוצאה שהמטבע ייפול ויעמוד על קצהו אינה מובאת בחשבון). ניתן לנבא כי במספר גדול של הטלות, מחציתן (בקירוב) יקבלו את הערך "עץ" ומחציתן (בקירוב) - את הערך "פלי". ככל שיגדל מספר ההטלות, כן תשאף התפלגותן ליחס 50:50. במהלך המאה ה-17, ובמהלך השנים בכלל, נערכו ניסויים רבים ובהם בדקו את ההסתברות בהטלת מטבע. במהלך הניסויים הטילו מטבע מאות אלפי פעמים, ונוכחו לגלות שבכל פעם התפלגות התוצאות הייתה קרובה ליחס 50:50 ובדרך כלל, ככל שגדל מספר הניסויים - כן התקרבו התוצאות ליחס זה. בעקבות ניסויים אלה התפתחה תורת ההסתברות.
<small>במהלך המאה ה-17, ובמהלך השנים בכלל, נערכו ניסויים רבים ובהם בדקו את ההסתברות בהטלת מטבע. במהלך הניסויים הטילו מטבע מאות אלפי פעמים, ונוכחו לגלות שבכל פעם התפלגות התוצאות הייתה קרובה ליחס 50:50 ובדרך כלל, ככל שגדל מספר הניסויים - כן התקרבו התוצאות ליחס זה. בעקבות ניסויים אלה התפתחה תורת ההסתברות.</small>
</div>
 
דוגמה: כאשר מטילים [[w:קוביית משחק|קוביית משחק]] כשרה פעם אחת, מניחים שההסתברות שהיא תיפול כך שהמספר 3 כלפי מעלה, היא <math>\frac{1}{6}</math>. כך עבור כל המספרים (1-6) בקוביה. לכולם הסתברות שווה. בעזרת ידע זה, נוכל לנבא כי במספר גדול של הטלות, ב-<math>\frac{1}{6}</math> מהן ייצא המספר 3. (ובשישית יצאו גם 1,2,4,5 ו- 6...).
'''כמובן''' שאם נזרוק קוביה 6 פעמים, לא נקבל כל תוצאה בדיוק פעם אחת.
'''אבל''' אם נזרוק את הקוביה מספר רב מאוד של פעמים, כל תוצאה תתקבל בבערך <math>\frac{1}{6}</math> מן הזריקות.
 
דוגמה: נוספות, כאשר מטילים [[w:קוביית משחק|קוביית משחק]] כשרה פעם אחת, מניחים שההסתברות שהיא תיפול כך שהמספר 3 כלפי מעלה, היא <math>\frac{1}{6}</math> (פעם אחת מתוך שש האפשרויות הקיימות : 1,2,3,4,5,6). כךכמובן שההסתברות זהה עבור כל המספרים (1-6) בקוביה. לכולם הסתברות שווה. בעזרת<br ידע זה, נוכל לנבא כי במספר גדול של הטלות, ב-<math>\frac{1}{6}</math> מהן ייצא המספר 3. (ובשישית יצאו גם 1,2,4,5 ו- 6...).
דוגמאות לשימוש בהסתברות:
בעזרת ידע זה, נוכל לנבא כי במספר גדול של הטלות, ב-<math>\frac{1}{6}</math> מהן ייצא המספר 3. (ובשישית יצאו גם 1,2,4,5 ו- 6...). <br />
* '''משחקי מזל'''<BR>דוגמה: מה ההסתברות שניחוש יחיד (בלוטו, בטוטו וכד') יזכה בפרס הראשון. במיוחד מעסיקה שאלה זו את מארגן המשחק, שרוצה לתכנן את המשחק כך שירוויח בו.
'''כמובן''' שאם נזרוק קוביה 6 פעמים, לא נקבל כל תוצאה בדיוק פעם אחת. '''אבל''' אם נזרוק את הקוביה מספר רב מאוד של פעמים, כל תוצאה תתקבל בבערך <math>\frac{1}{6}</math> מן הזריקות.
* '''מצבי סיכון'''<BR>דוגמה: מה ההסתברות שאדם המבטח את חייו ימות במהלך השנה הקרובה. התשובה לשאלה זו קובעת את גובה הפרמיה שתדרוש חברת הביטוח.
 
==דוגמאות לשימוש בהסתברות:==
* '''משחקי מזל'''<BR> - דוגמה: מה ההסתברות שניחוש יחיד (בלוטו, בטוטו וכד') יזכה בפרס הראשון. במיוחד מעסיקה שאלה זו את מארגן המשחק, שרוצה לתכנן את המשחק כך שירוויח בו.
* '''מצבי סיכון'''<BR>- דוגמה: מה ההסתברות שאדם המבטח את חייו ימות במהלך השנה הקרובה. התשובה לשאלה זו קובעת את גובה הפרמיה שתדרוש חברת הביטוח.
 
<div style="text-align: center;">
נסכם: ההסתברות היא דרך לנבא את מידת התרחשותו של מקרה מסוים במספר גדול של ניסויים.
</div>
 
[[קטגוריה:הסתברות לתיכון]]