משוואות דיפרנציאליות חלקיות/מיון משוואות לינאריות מסדר שני בשני משתנים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mintz l (שיחה | תרומות)
מ ←‏משוואה אליפטית: שמירת ביניים
Mintz l (שיחה | תרומות)
שורה 177:
a(\xi_x^2-\eta_x^2) + 2b(\xi_x\xi_y-\eta_x\eta_y) + c(\xi_y^2-\eta_y^2)=0
</math>
 
ומהמשוואה <math>\tilde b=0</math> נקבל:
<math>\ a\xi_x\eta_x + b(\xi_x\eta_y+\xi_y\eta_x)+c\xi_y\eta_y</math>
 
חיפשו ומצאו שאם נגדיר משתנה (מרוכב) חדש <math>\ \phi=\xi+i\eta</math> אז המשוואה
<math>\ a\phi_x^2+2b\phi_x\phi_y + c\phi_y^2 = 0</math>
כוללת בתוכה את שתי המשוואות האחרונות: השוואת החלק הממשי של אגף שמאל לאפס יתן את המשוואה הראשונה, והשוואת החלק המדומה של אגף שמאל יתן את המשוואה השניה. שימו לב כי זו משוואה מאותה צורה כמו במשוואות ההיפרבולית והפרבולית.
 
נמשיך מכאן במתודולוגיה המוכרת:
<math>\ a \left(\frac{\phi_x}{\phi_y}\right)^2 + 2b\frac{\phi_x}{\phi_y} + c = 0</math>
פתרונות המשוואה הריבועית יתנו את הטרנספורמציה המבוקשת:
<math>\ \left(\frac{\phi_x}{\phi_y}\right)_{1,2} = \left(\frac{d y}{d x}\right)_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-ac}}{a}</math>
 
מכיוון שבמשוואות אליפטיות <math>b^2-ac<0</math> נוכל לכתוב:
<math>\ \left(\frac{d y}{d x}\right)_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{ac-b^2}}{a}</math>
 
באופן כללי, ניתן לכתוב את הפתרון לעיל בצורה סתומה:
<math>\ \begin{cases}
\psi_1(x,y) = \mathrm{const.} = \xi(x,y) \\
\psi_2(x,y) = \mathrm{const.} = \eta(x,y)
\end{cases}
</math>
 
שימו לב כי &psi;<sub>1</sub>, &psi;<sub>2</sub> הם צמודים קומפלקסיים (בגלל ה-<math>\pm i</math> במונה). לכן, על מנת לעבוד עם משתנים ממשים, ניתן להגדיר טרנספורמציה נוספת, שתתבסס על העובדה שהם צמודים:
 
<math>\ \begin{cases}
\tilde\xi = {1\over 2}(\xi+\eta) \\
\tilde\eta = {1\over 2i}(\xi-\eta)
\end{cases}
</math>
 
 
===דוגמאות===
====משוואת לפלס דו-מימדית====
: <math>\ u_{xx}+u_{yy}=0</math>
משוואה זו כבר נמצאת בצורתה הקנונית!
 
{{להשלים}}