משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת לפלס לפתרון בעיות תנאי התחלה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שמירת ביניים |
מ סיום |
||
שורה 2:
התמרת לפלס הינה מהצורה:
<math>\ \mathcal{L}\left[f(x)\right] = F(p) = \int\limits_0^{\infty} e^{-px}f(x)\mathrm{d}x</math>
היתרונות בהתמרה זו הינם:
שורה 11:
* מתאימה רק לבעיות תנאי התחלה.
* על מנת להגיע לפתרון במשתנים המקוריים לעתים דרוש לבצע התמרה הפוכה שאינה שגרתית, שתהיה מלווה במציאת שאריות וכיו״ב.
==השיטה==
השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה ושמשתנה ההתמרה מתפקד כפרמטר, כלומר שמתקיים:
<math>\ \mathcal{L}\left[ \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial^2 x} \right] =
\int\limits_0^{\infty} e^{-pt}\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial^2 x} \mathrm{d}t =
\frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d}x^2} \int\limits_0^{\infty} e^{-pt} u(x,t) \mathrm{d}t =
\frac{\mathrm{d^2}U(x,p)}{\mathrm{d}x^2}
</math>
==דוגמאות==
שורה 16 ⟵ 24:
נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:
<math>\ \begin{cases}
u_{tt}=u_{xx},\ x>0 \\
u(x,0)=u_t(x,0)=0 \\
u(0,t) = t
שורה 22 ⟵ 30:
</math>
נפעיל את ההתמרה על המשתנה t (שבו נתונים תנאי ההתחלה)
<math>\ p^2U(x,p) -
כלומר קבלנו מד"ר פשוטה בפונקציה U ובמשתנה x:
<math>\ U'' -p^2 U = 0 \quad\Rightarrow\quad U(x,p)=A(p)e^{px} + B(p)e^{-px}</math>
על מנת למצוא את המקדמים (התלויים ב-p!) צריך:
# להבטיח ש-U חסומה, ולכן דרוש לאפס את A.
# להתמיר את תנאי השפה:
<math>\ U(0,p)=\mathcal{L}[u(0,t)]=\frac{1}{p^2} =B(p)</math>
כך שהפתרון הוא:
<math>\ U(x,p) = \frac{1}{p^2}e^{-px}</math>
לבסוף נבצע התמרת לפלס הפוכה כדי לחזור למישור הזמן:
<math>\ \mathcal{L}^{-1}[U(x,p)] = u(x,t) = t-x</math>
למעשה הפתרון הקפדני יותר הוא
<math>\ u(x,t)=H(t-x)\cdot(t-x)</math>
כאשר H היא פונקצית המדרגה של Heaviside, והיא נמצאת בפתרון מכיוון שתחום הבעיה הוא x>0.
==לקריאה נוספת==
* פרק 5 (עמ׳ 175) בספר: Schiff, Joel L., The Laplace transform: theory and applications, Springer-Verlag, 1999, New York ISBN 0387986987.
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות חלקיות]]
| |||