משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת לפלס לפתרון בעיות תנאי התחלה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ לקריאה נוספת |
מ ←בעיית גלים במיתר סופי: דוגמה נוספת |
||
שורה 50:
<math>\ u(x,t)=H(t-x)\cdot(t-x)</math>
כאשר H היא פונקצית המדרגה של Heaviside, והיא נמצאת בפתרון מכיוון שתחום הבעיה הוא x>0.
===בעיית גלים במיתר סופי===
נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:
<math>\ \begin{cases}
u_{tt}=c^2 u_{xx},\ 0\le x\le l \\
u(x,0)=u_t(x,0)=0 \\
u(0,t) = g(t),\ u(l,t)=0
\end{cases}
</math>
בדומה למקרה הקודם, נפעיל התמרת לפלס על המשתנה שבו נתונים תנאים ב-0, כלומר המשתנה t, ונקבל את המד"ר הבאה:
<math>\ U'' -{p^2\over c^2} U = 0 \quad\Rightarrow\quad U(x,p)=A(p)e^{{p\over c}x} + B(p)e^{-{p\over c}x}</math>
על מנת למצוא את המקדמים (התלויים ב-p!) צריך להשתמש בשני תנאי השפה הנתונים (כאן לא ניתן להשתמש בטיעון החסימות מכיון שהבעיה מוגבלת לתחום סופי):
<math>\ \left\{\begin{array}{ll}
U(0,p)=G(p): & A(p)+B(p)=G(p) \\
U(l,p)=0: & A(p)e^{{p\over c}l} + B(p)e^{-{p\over c}l}=0
\end{array}\right.
</math>
ביצוע מספר מניפולציות אלגבריות יביאו לתוצאה:
<math>\ U(x,p)=G(p)\frac{\sinh\left[ \frac{p}{c}(l-x) \right]}{\sinh\left( \frac{p}{c}l \right)}</math>
כעת נותר לבצע התמרת לפלס הפוכה על הביטוי שלעיל. ע"פ תכונת הקונבולוציה, ההתמרה ההפוכה הינה:
<math>\ u(x,t)=g(t)*\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{\sinh\left[ \frac{p}{c}(l-x) \right]}{\sinh\left( \frac{p}{c}l \right)} \right\}</math>
{{תזכורת|ויקיפדיה: [[w:משפט השאריות|משפט השאריות]]}}
כך שעלינו למצוא את התמרה ההפוכה של הגורם הימני בלבד (הפונקציה הכללית g נתונה בבעיה). נשתמש לצורך כך במשפט השאריות של קושי:
<math>\ \mathcal{L}^{-1}\left\{F(p)\right\} = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} F(p)e^{pt}\mathrm{d}p = \sum\limits_{k=1} \operatorname{Res}\left[F(p)e^{pt},p_k\right]</math>
הקטבים של הפונקציה הם האפסים של <math>\ \sinh(pl/c)</math> כלומר: <math>p_k=\pm \pi i {c\over l}k</math>. לצורך חישוב הקטבים ניזכר במשפט מאנליזה מרוכבת שעל פיו הקטבים של מנת־פונקציות מתקבלים מתוך חלוקת המונה בנגזרת המכנה (בתנאי שאינה אפס שם):
<math> \operatorname{Res}\left\{ \frac{f_1(z)}{f_2(z)},z_p \right\} = \frac{f_1(z_p)}{f_2^{\prime}(z_p)}</math>
כך שמתבקל:
<math> \operatorname{Res}\left[F(p)e^{pt},p_k\right] = -i{c\over l}\sin\left( \pi k\frac{x}{l} \right)e^{i\pi k\frac{c}{l}t}</math>
בסה״כ, ע״י שימוש בזהות <math>\ \sin(x)=\tfrac{i}{2}(e^{-ix}+e^{ix})</math> ובסימטריה של הקטבים מתקבל:
<math> f(x,t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{F(p)\right\} = 2{c\over l}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sin\frac{\pi k x}{l}\sin\frac{\pi k ct}{l}</math>
ולכן התשובה הסופית הינה הקונבולוציה:
<math>\ u(x,t) = \int\limits_0^t g(t-\tau)f(x,\tau)\mathrm{d}\tau = 2{c\over l}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sin\frac{\pi k x}{l} \int\limits_0^t g(t-\tau)\sin\frac{\pi k ct}{l}\mathrm{d}\tau</math>
==לקריאה נוספת==
| |||