משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת פורייה

התמרת פורייה היא התמרה מוכרת מאוד ונפוצה בהנדסה.

"התמרת פורייה" בהקשר שלנו היא שם כולל ל-3 סוגי התמרות:

• התמרת פורייה טריגונומטרית
  • התמרת סינוס

    $\ {\mathcal {F}}\left[f(x)\right]=F(p)=\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\sin(px)\mathrm {d} x$

  • התמרת קוסינוס

    $\ {\mathcal {F}}\left[f(x)\right]=F(p)=\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\cos(px)\mathrm {d} x$

• התמרת פורייה מעריכית

  • $\ {\mathcal {F}}\left[f(x)\right]=F(p)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ipx}\mathrm {d} x$

השיטה

השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה ושמשתנה ההתמרה מתפקד כפרמטר, כלומר שמתקיים, לדוגמה:

$\ {\mathcal {F}}\left[{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial ^{2}t}}\right]=\int \limits _{0}^{l}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial ^{2}t}}\sin \left({\frac {n\pi x}{l}}\right)\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d^{2}} }{\mathrm {d} t^{2}}}\int \limits _{0}^{l}u(x,t)\sin \left({\frac {n\pi x}{l}}\right)\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d^{2}} U(p,t)}{\mathrm {d} t^{2}}}$

דוגמאות

בעיית גלים במיתר סופי

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:

$\ {\begin{cases}u_{tt}=c^{2}u_{xx},\ 0\leq x\leq l\\u(x,0)=u_{t}(x,0)=0\\u(0,t)=g(t),\ u(l,t)=0\end{cases}}$

ראו גם פתרון הבעיה בעזרת התמרת לפלס.