משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת הנקל: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ anh |
מ ←בעיית גלים חד-ממדית בקוארדינטות קוטביות: סימטריה.... שמירת ביניים |
||
שורה 26:
בעיה זו מתאימה לדוגמה עבור תנודות סימטריות בממברנה מעגלית.
נפעיל התמרת הנקל סופית (כי הבעיה נתונה בתחום סופי) על המשתנה x (כי הבעיה מתוחמת ב-x) עם פונקצית בסל מסדר 0:
<math>\ {1\over c^2} \int\limits_0^a \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}rJ_0\left( \frac{\lambda_n r}{a} \right) \mathrm{d}t =
\int\limits_0^a {1\over r} \frac{\partial}{\partial r}(r u_r) rJ_0\left( \frac{\lambda_n r}{a} \right) \mathrm{d}r </math>
כך שמתקבל:
<math>\ {1\over c^2} U_{tt} = \int\limits_0^a \frac{\partial}{\partial r}(r u_r) J_0\left( \frac{\lambda_n r}{a} \right) \mathrm{d}r</math>
אינטגרציה בחלקים פעמיים של אגף ימין ושימוש בקשרים
<math>\ J_0^{\prime}(r) = -J_1(r),\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left[ r\frac{\mathrm{d}J_0(kr)}{\mathrm{d}r} \right] = -k^2 r J_0(r)</math>
תביא למד"ר הבאה:
<math>\ U_{tt} + \left(\frac{\lambda_n c}{a}\right)^2 U = \frac{\lambda_n c^2}{a} J_1(\lambda_n)g(t)</math>
(להסביר מדוע מופיע האינקס n)
פתרון בערת פונקצית גרין יתן את הביטוי הבא:
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות חלקיות]]
| |||