משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת הנקל: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תיקון |
|||
שורה 1:
התמרת הנקל יכולה להיות סופית או אינסופית. פונקצית הגרעין בהתמרת הנקל היא פונקצית בסל כלשהי:
<math>\ \mathcal{H}\left[f(x)\right] = F(p) = \int\limits_0^{\infty} xf(x)J_n(px)\mathrm{d}x</math>
ההתמרה ההפוכה מתקבל על ידי פיתוח לטור שנקרא טור בסל-פורייה:▼
<math>\ f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n J_0 \left( \frac{\lambda_n x}{a} \right)</math>▼
כאשר המקדמים a<sub>n</sub> נתונים על ידי:▼
<math>\ a_n = \frac{2}{a^2J_1^2(\lambda_n)} F</math>▼
==השיטה==
שורה 30 ⟵ 25:
<math>\ {1\over c^2} \int\limits_0^a \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}rJ_0\left( \frac{\lambda_n r}{a} \right) \mathrm{d}t =
\int\limits_0^a {1\over r} \frac{\partial}{\partial r}(r u_r) rJ_0\left( \frac{\lambda_n r}{a} \right) \mathrm{d}r </math>
(כאן λ<sub>n</sub> הם האפסים של פונקצית בסל, כך שבביטוי לעיל היא מתאפסת בקצה התחום כי r=a שם)
כך שמתקבל:
<math>\ {1\over c^2} U_{tt} = \int\limits_0^a \frac{\partial}{\partial r}(r u_r) J_0\left( \frac{\lambda_n r}{a} \right) \mathrm{d}r</math>
אינטגרציה בחלקים פעמיים של אגף ימין ושימוש
<math>\ J_0^{\prime}(r) = -J_1(r),\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} \left[ r\frac{\mathrm{d}J_0(kr)}{\mathrm{d}r} \right] = -k^2 r J_0(r)</math>
שורה 45 ⟵ 41:
<math>\ U_n(t) = ac J_1(\lambda_n) \int\limits_0^t g(t-\tau)\sin\left( \frac{\lambda_n c\tau}{a} \right) \mathrm{d}\tau</math>
על מנת לקבל את הפתרון במישור הזמן יש לבצע התמרה הפוכה ע"י טור בסל-פורייה.
▲ <math>\
▲כאשר המקדמים a<sub>n</sub> נתונים על ידי:
נקבל:
<math>\ u(r,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2c}{aJ_1(\lambda_n)} J_0\left( \frac{\lambda_n r}{a} \right) \int\limits_0^t g(t-\tau) \sin\left( \frac{\lambda_n c\tau}{a} \right) \mathrm{d}\tau</math>
| |||