מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת: הבדלים בין גרסאות בדף

{{הארה| בכדיכדי להבין נושא זה, יש לדעת את נושא גרף -– תחום חיוביות שליליות המופיע בפרק [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הצגה גרפית של פונקציה|הצגה גרפית של פונקציה - תחום חיוביות שליליות]]. רצוי גם, לדעת את נושא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|עליה וירידה]]}}

נושא זה דן על הקשר ביןשבין גרף של פונקציה לגרף של הנגזרת שלה או של הנגזרת השנייה שלה. עד כה נתנו לנו שאלות בהןשבהן קבלנוקיבלנו נתונים. בשאלות מסוג "התנהגות פונקציה", אנו נקבל גרף, ממנושממנו עלינו להוציא נתונים בעזרתםשבעזרתם נבנה גרף חדש. כאשר מקבלים גרף יש ליצור טבלה. הטבלה תראהתיראה כך :

ניתן גרף של נגזרת או פונקציה. בדרך כלל, גרף של נגזרת. הכללים :

# כשהנגזרת שלילית (הנקודה נמצאת מתחת ציר ה-X) – פונקציההפונקציה יורדת.

# כשהנגזרת שווה לאפסאפס – נקודת קיצון או נקודת פיתול ; תלוי בשיפוע: (עליהעלייה לעליהלעלייה או ירידה לירידה – פיתול, ירידה לעליה או עליה לירידה – נקודת קיצון).

# כשנגזרת חיובית (הנקודה נמצאת מעל ציר ה-X) – פונקציה עולה.

הטבלה תראהתיראה כך :

| + (הנקודה מעל ציר ה-X)

| - (הנקודה מתחת לציר ה-X)

==קשר בין פונקציה לנגזרתלנגזרתה שנייההשנייה==

# כשהנגזרת שלילית (הנקודה מתחת ציר ה-X) – פונקציההפונקציה עולה.

# כשהנגזרת השנייה שווה לאפסאפס – נקודת קיצון (מעבר בין עליהעלייה לירידה או ירידה לעליהלעלייה) או פיתול (נגזרת ראשונה ושנייה שוויםשוות לאפס או מעבר מעליהמעלייה לעליהלעלייה או מירידה לירידה).

# כשנגזרתכשהנגזרת חיובית (נקודת נמצאת מעל ציר ה-X) – פונקציה יורדתהיורדת.

אם אנו מדברים על אותה פונקציה, הטבלה תראהתיראה כך :

| + (הנקודה מעל ציר ה-X)

| - (הנקודה מתחת ציר ה-X)

נגזרת שנייה היא נגזרת ראשונה של נגזרת הפונקציה,. לכן, חלים עליה אותם כללים של נגזרת :

# כשהנגזרת (השנייה) שלילית – פונקציההפונקציה (נגזרת ראשונה) יורדת.

# כשהנגזרת (השנייה) שווה לאפסאפס – זו נקודת קיצון או נקודת פיתול (עבור נגזרת ראשונה!); תלוי בשיפוע (עליהעלייה לעליהלעלייה או ירידה לירידה – פיתול, ירידה לעליהלעלייה או עליהעלייה לירידה – נקודת קיצון).

# כשנגזרתכשהנגזרת (השנייה) חיובית – פונקציההפונקציה (נגזרת ראשונה) עולה.

{{הארה| נקודת קיצון של נגזרת ראשונה מבטאמתבטאת מעברבמעבר מירידה לעליהלעלייה או מעליהמעלייה לירידה. אין הרבהדי נתונים בשאלות כאלה, ולכן, בדרך כלל, נהוג לצייר את הגרף של נגזרת שנייה באמצעות פונקציה ליניארית (עולה או יורדת), אף על אףפי שאין זה מחייב שהפונקציה תראהתיראה כך}}

# רשימת Y באופן הבא -: הנתונים שיופיעו בטבלה יהיו על פי '''Y''' של הנקודה כאשר בסורגיים נרשוםבסוגריים נכתוב:

#* עליהעלייה/ירידה.

#* נקודה מעל/מתחת ציר ה-X.

'''עליה עלייה:'''

# <math>-2<x<-1</math> -– הנקודה בגרף y' נמצאת מעל ציר ה-X.

# <math>X>1</math> -– הנקודה בגרף 'y נמצאת מעל ציר ה-X.

'''ירידה :''' <math>-1<x<1</math> -– הנקודה בגרף y' נמצאת מתחת צירלציר ה-X.

על פילפי הכללים :

| הנקודה בגרף 'y נמצאת מעל ציר ה-X

| הנקודה בגרף 'y נמצאת מתחת צירלציר ה-X

| הנקודה בגרף 'y נמצאת מעל ציר ה-X

| הנקודה בגרף 'y נמצאת מעל ציר ה-X

כפי שניתן לראות בתמונה :

# החלק הראשון של הנגזרת נמצא מעל ציר ה-X.

# הפונקציה נחתכת בציר ה-X בנקודת הקיצון של הפונקציה (0,-1).

# חלק שלישי – נמצאת מתחת לציר ה-X (בטווח 0>x<1).

# חלק רביעי – שוב נחתך עם בציר בנקודות הקיצון של הפונקציה (0,1).

# חלק חמישי – נמצאת מעל ציר ה-X.