מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/מבוא: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תקלדה
הורדת אינטגרל מסויים
שורה 7:
'''לנגזרת יכולות להיות מספר פונקציות מתאימות''', בניגוד לפונקציה לה יש נגזרת אחת. למשל, הפונקציות עבורה הנגזרת <math>\ F'(x)=x^2</math> יכולות להיות : <math>\ f(x)=\frac{x^3}{3}</math>, <math>\ f(x)=\frac{x^3}{3}+1</math>,<math>\ f(x)=\frac{x^3}{3}+2</math> וכן הלאה. לכן, בתום האינטגרציה נוסיף את ה'''סימן C''', קבוע האינטגרציה, נעלם המייצג את כלל הפונקציות המתאימות לנגזרת זו. <br />
 
'''פונקציה קדומה''' (<math>\ F(x)</math>), היא הפונקציה הראשונית, אותה קיבלו לאחר האינטגרציה. דייהנו, זוהי הפונקציה הראשונה אותה גזרו <math>\ F(x)=\frac{x^3}{3}</math> וקיבלו נגזרת מסויימת, פונקציה חדשה <math>\ f'(x)=x^2</math>. פונקציה <math>\ F\left(x\right)</math> נקראת '''פונקציה קדומה''' של <math>\ f\left(x\right)</math> בקטע כלשהו, אם לכל נקודה בקטע <math>\ F'\left(x\right)=f(x)</math>. כלומר <math>\ f\left(x\right)</math> היא הנגזרת של <math>F\left(x\right)</math> בקטע.<br />
 
'''אינטגרל לא מסויים-''' כל הפונקציות הקדומות עבור [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]] ('''שיפוע''') מסויימת. סימונם <math>\ \int f(x)dx</math> .
 
{{חלון מידע|הנגזרת היא שיפוע מכאן שהיא מבטא את : <math>\ m=f(x)'=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} </math> ובמילים אחרות : <math>\ m=f'=\frac{dy}{dx}</math> (דלתא <math>\Delta</math>= מרחק). כאשר <math>\ F(x)'</math> (הנגזרת של פונקציה קדומה) שווה <math>\ f(x)</math> (לפונקציה חדשה) נוכל לרשום <math>\frac{dy}{dx}=F'(x)=f(x)</math>. באמצעות אינטגרציה ל-<math>\ d</math> (לא חשוב איך) נקבל <math>\ dy=f(x)dx</math>. על ידי ביצוע לשני האגפים (שוב, לא חשוב איך) נקבל <math>\ y=\int f(x)dx</math>. לכן נוכל לומר <math>\int {f(x)dx=F(x)+c}</math> כאשר <math>\ F'(x)=f(x)</math>}}
 
{| class="wikitable"
== האינטגרל המסויים ==
{{חלון מידע| הנגזרת היא שיפוע מכאן שהיא מבטא את : <math>\ m=f(x)'=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} </math> ובמילים אחרות : <math>\ m=f'=\frac{dy}{dx}</math> (דלתא <math>\Delta</math>= מרחק). כאשר <math>\ F(x)'</math> (הנגזרת של פונקציה קדומה) שווה <math>\ f(x)</math> (לפונקציה חדשה) נוכל לרשום <math>\frac{dy}{dx}=F'(x)=f(x)</math>. באמצעות אינטגרציה ל-<math>\ d</math> (לא חשוב איך) נקבל <math>\ dy=f(x)dx</math>. על ידי ביצוע לשני האגפים (שוב, לא חשוב איך) נקבל <math>\ y=\int f(x)dx</math>. לכן נוכל לומר <math>\int {f(x)dx=F(x)+c}</math> כאשר <math>\ F'(x)=f(x)</math>}}
אינטגרל מסויים הוא ההפרש בין האינטגרל בנקודה מסויימת לאינטגרל בנקודה אחרת.
|}
 
בשביל להבין את המשפט הזה, צריך לדעת קודם שאינטגרל של פונקציה מבטא גם את גודל השטח שהגרף של אותה פונקציה תוחם עם ציר ה x.
 
[[#על פי מה יודעים שהאינטגרל של פונקציה מראה את השטח בינה לבין ציר x?|(על פי מה יודעים שהאינטגרל של פונקציה מראה את השטח בינה לבין ציר x?)]]
 
זה אומר שהאינטגרל של הפונקציה <math>y=-2x^2+8</math> יכול לבטא את השטח המקווקו בשרטוט:
 
[[תמונה:figure 1]]
 
אבל בשביל שנוכל באמת למצוא את הגודל נצטרך להגדיר את התחום בו אנו מעוניינים. בואו נניח שהתחום בו אנו מעוניינים הוא <math>-2<x<2</math>.
 
זה אומר שנרצה למצוא רק את השטח המקווקו בשרטוט הבא:
 
[[תמונה:figure 2
]]
 
לשם כך נרשום:
 
<math>\int_{-2}^{2} (-2x^{2}+8) dx= \left [ -{2 \over 3} x^{3}+8x+C \right ]_{-2}^{2}=-{2 \over 3}2^{3}+8 \cdot 2 + C -(-{2 \over 3} (-2)^{3}+8 \cdot (-2) + C)</math>
 
ניתן לראות כאן שלושה שלבים:
 
א) רישום האינטגרל
 
ב) ביצוע האינטגרציה
 
ג) מעבר לרישום מתימטי פשוט
 
 
ביצוע האינטגרציה (שלב ב') יוצר לנו פונקציה שאם נגזור אותה (אתם מוזמנים לנסות) נקבל את הפונקציה שעליה ביצענו את האינטגרציה (הפונקציה משלב א').
 
המעבר לרישום מתימטי פשוט (שלב ג') נעשה על ידי חיסור הפונקציה הקדומה כשמוצב בה הערך העליון של האינטגרל (באדום), מהפונקציה הקדומה כשמוצב בה הערך התחתון של האינטגרל (בירוק). ( שימו לב! הערך העליון תמיד יהיה גדול מהערך התחתון!)
 
הפתרון ממשיך כך:
 
<math>{} = -{16 \over 3}+16 + C - ({16 \over 3} - 16 + C) =</math>
<math>= 16+16-{16 \over 3}-{16 \over 3}=32-{32 \over 3}=21{2 \over 3}</math>
 
וזה גודל השטח שרצינו למצוא.
 
שימו לב שה C מתקזז. מאחר שמדובר בחיסור הפונקציה מעצמה כשרק ה x משתנה, ה C תמיד יתקזז, ולפיכך נהוג בכלל שלא לכתוב אותו בכל התהליך.
כך הופך ה C למאפיין של [[האינטגרל הלא-מסויים]].
הפתרון שלנו למעשה צריך להכתב כך:
 
<math>\int_{-2}^{2} (-2x^{2}+8) dx= \left [ -{2 \over 3} x^{3}+8x \right ]_{-2}^{2}=</math>
 
<math>=-{2 \over 3}2^{3}+8 \cdot 2 -(-{2 \over 3} (-2)^{3}+8 \cdot (-2) )</math>
 
 
שטח שחסום על ידי מספר גרפים שונים, יחושב (בדרך כלל) על ידי חיסור או חיבור השטחים שחוסמים אותם גרפים:
 
[[תמונה:figure_12]]
 
יחושב על ידי: <math>\int_{-1}^{5}f(x)dx-\int_{-1}^{5}g(x)dx</math>
[לעשות: הוספה של מקרים נוספים - שטחים עם ציר y, שני ישרים וגרף (שטח מפוצל), ואולי גם איזורים מתחת לציר x]
 
אפשר היה להביא כאן דוגמאות שונות של נוסחאות והאינטגרלים שלהן, אך הדבר מיותר - על מנת לעבוד עם אינטגרלים צריך פשוט לדעת איך גוזרים, ואז לעשות בדיוק את ההיפך.
הבדיקה הטובה ביותר לאינטגרל היא לגזור את הפונקציה הקדומה שיצאה בתוצאה. אם תוצאת הגזירה היא הפונקציה לה עשינו אינטגרציה, אז האינטגרציה היתה נכונה. (ותופתעו כמה קל לטעות בזה).
 
מספר פתרונות מבגרויות יבהירו את העניין:
 
(כשתתקבל תגובת משרד החינוך לגבי פרסום בגרויות, יובאו כאן פתרונות)
=הערות שולים=
<references/>
שורה 82 ⟵ 22:
[http://sikumuna.co.il/wiki/%D7%98%D7%91%D7%9C%D7%AA_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C%D7%99%D7%9D%2C_%D7%9B%D7%9C_%D7%94%D7%97%D7%95%D7%A7%D7%99%D7%9D_%D7%95%D7%94%D7%9B%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%9D דף נוסחאות המכיל את כל הכללים באינטגרלים לבגרת], מתוך סיכומונה.
 
[[קטגוריה:מתמטיקהחשבון אינטגרלי לתיכון]]