חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 47:
# האם זהו <math>\ \delta</math> מתאים?
# האם זהו ה-<math>\ \delta</math> היחידי שניתן לבחור?
התשובה לשאלה הראשונה היא "כן". הבאהבה נראה:
עבור כל <math>\ x</math> המקיים <math>0 < \left| {x - 0} \right| < \delta = \varepsilon_0</math> בפרט מתקיים <math>0 < \left| {x - 0} \right| = \left| {x} \right|</math> , כלומר ש- <math>x \neq 0</math> ולכן <math>\ f(x) = 1</math> כפי שהוסבר קודם, ולכן
<div style="text-align: center;">
שורה 53:
</div>
ולכן הוכחנו את מה שדרשה ההגדרה.<br />
לשאלתנו השנייה - התשובה היא "לא". שימו לב שבהוכחה לא השתמשנו כלל בעובדה ש- <math>\left| {x - 0} \right| < \delta = \varepsilon_0</math> , כלומר לא נזקקנו לגודל מסויים של <math>\delta</math> , ולמעשה יכולנו לבחור כל ערך עבורו, בפרט לקבוע ערכים קבועים כמו <math>\delta = 32</math>. זה '''לא''' יהיה המצב תמיד, ולעיתים נהיה חייבים לקבוע מגבלות מסויימות על ערכי <math>\delta</math> המתאימים. אםעם זאת, שימו לב שאם <math>\delta = \delta_0</math> מתאים ל- <math>\varepsilon = \varepsilon_0</math> מסויים הרי שגם <math>\delta = \frac {{\delta_0}}{{2}}</math> יתאים ולכן תמיד הבחירה של <math>\delta</math> אינה יחידה.
{{אתגר| נסו להבין למה אם <math>\delta = \delta_0</math> מתאים ל- <math>\varepsilon = \varepsilon_0</math> אז גם <math>\delta = \frac {{\delta_0}}{{2}}</math> מתאים לו.}}