תורת הקבוצות/מכפלה קרטזית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הרחבה-שלד הפרק |
הרחבה-כל הפרק |
||
שורה 1:
{{תורת הקבוצות}}
<!-- לא החלטתי עדיין עם להמשיך את הקו של שאר הספר מבחינת עיצוב ההגדרות והמשפטים, או לשנות את זה מחדש לעיצוב המתאים לי, כפי שניתן לראות נניח בספר "מבנים אלגבריים". בינתיים אין עיצוב מיוחד, וההחלטה בידי הבאים אחרי -->
ראינו כבר בעבר שאין חשיבות לסדר שבו איברים מצויים בקבוצה. כך לדוגמה, {1,2,3} = {3,1,2}. היינו רוצים מושג שיעזור לנו להגדיר את המושג של "קבוצה סדורה", כפי שאנחנו מבינים אותו. כלומר, "קבוצה" שבה יש חשיבות לסדר. זוהי מטרתו העיקרית של הפרק הזה.
==זוג סדור==
הגדרה: בהינתן קבוצות A וB ואיברים בהם a וb בהתאמה, נגדיר את הזוג הסדור:
<center>
<math>\left( a ,b\right) = \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a,b \right\} \right\}</math>
</center>
על הקורא לנסות לשכנע את עצמו מדוע ההגדרה הזו "נכונה", מהבחינה האינטואטיבית של "קבוצה בעלת חשיבות לסדר". מבחינה פורמלית, הדבר מוכח בטענה הבאה:
טענה: (x,y)=(a,b) אםם x=a וגם y=b.
הוכחה: כיוון ראשון, נניח שמתקיים (x,y)=(a,b). לכן, יש שוויון בין הקבוצות { {x},{x,y}} ו{{a},{a,b}}. לכן, הקבוצה {a} שווה לקבוצה {x} או לקבוצה {x,y}. כיוון שבאחת יש 2 איברים (אם לא, אז במקרה ש x=y, הטענה נכונה בהכרח), x=a בהכרח.
מכאן, שהקבוצה {x,y} שווה לקבוצה {a,b}, ומהשוויון הראשון בהכרח מתקיים y=b. כנדרש.
נשים לב שתחת ההגדרה הזו, מתקיים שאם a שונה מb, אז בהכרח: (a,b) שונה מ(b,a). כלומר, יש חשיבות לסדר.
==המכפלה הקרטזית==
כעת, נשתמש בהגדרה הנ"ל כדי לבנות משתי קבוצות נתונות A וB, קבוצה חדשה, הקבוצה הזו תיקרא המכפלה הקרטזית של A וB והיא מסומנת ומוגדרת כלהלן:
<center>
<math>
\ A\times B = \left\{ \left( a,b\right) \vert a\in A ,b\in B \right\}
</math>
</center>
כלומר, המכפלה הקרטזית היא אוסף כל הזוגות הסדורים, שהאיבר הראשון שלהם הוא מA והאיבר השני שלהם הוא מB.
===דוגמאות===
* נסתכל על הקבוצה <math>\ A=\{ 0,1\} </math> ו <math>\ B=\{ a,b,c\} </math> אזי, נקבל ש:
:: <math>A\times B= \{ (0,a),(0,b) ,(0,c), (1,a), (1,b), (1,c) \}</math>
* כאשר A וB אותן קבוצות מהדוגמה הקודמת, נקבל ש
:: <math>B\times A= \{ (a,0),(a,1) ,(b,0), (b,1), (c,0), (c,1) \}</math>
==הכללה למספר סופי של קבוצות==
בהינתן קבוצות <math>\ A_1, A_2, \ldots , A_n</math> נגדיר את המכפלה הקרטזית שלהן להיות:
<center>
<math>A_1\times A_2 \times\ldots\times A_n=\{ \left(a_1,a_2,\ldots , a_n\right)\vert a_1\in A_1,\ldots a_n\in A_n</math>
</center>
מאוחר יותר כשנדבר על פונקציות נוכל באמת להכליל את המושג של זוג סדור ושל מכפלה קרטזית בצורה יותר פורמאלית, לאוסף כלשהו (סופי או אינסופי) של קבוצות.
==תכונות של המכפלה הקרטזית==
כבר בדוגמאות ראינו שבדרך כלל לא יתקיים ש AXB=BXA כאשר A וB קבוצות כלשהן. חלק מהתכונות להלן מושארות לקורא כתרגיל:
# הקבוצות <math>A\times \left( B\times C\right)</math>, <math>\ \left( A\times B\right) \times C</math>, <math>A\times B\times C</math> שונות זו מזו.
# <math>A\times \left( B\cup C\right) = A\times B \cup A\times C</math>
# <math>A\times \left( B\setminus C\right) = A\times B \setminus A\times C</math>
#<math>A\times \left( B \cap C\right)= A\times B\cap A\times C </math>
#<math>A\times \left( B\Delta C\right) = A\times B \Delta A\times C</math>
# <math>\alpha\subset A</math> ו<math>\beta\subset B</math> אםם <math>\alpha\times\beta\subset A\times B</math>
<!-- יש להביא הוכחות לפחות לתכונות הקשות יותר, כמו תכונה 3 ותכונה 6. בנוסף, רצוי להוסיף עוד טענות קטנות בסגנון. -->
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
| |||