תורת הקבוצות/יחסים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
MeRabbit (שיחה | תרומות)
הרחבה-הגדרה ותכונות
MeRabbit (שיחה | תרומות)
הרחבה-יחסים מיוחדים
שורה 3:
 
בשלושת הפרקים הבאים נידון לעומק בסוגים של יחסים שחשיבותם למתמטיקה, ולתורת הקבוצות בפרט, היא למעלה מן המעלה.
==הגדרות==
==הגדרה פורמאלית==
הגדרה: בהינתן שתי קבוצות A וB, תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית ביניהם <math>\ R\subset A\times B</math> ייקרא '''יחס ביניארי בין A לB''' או פשוט '''יחס''' אם הקבוצות A וB ברורות מההקשר.
 
שורה 12:
כאשר ביחס בינארי R בין A לB מתקיים ש A=B, נאמר בקיצור ש R הוא יחס על A.
 
סימון: כאשר R יחס ביניארי ומתקיים ש <math>\ \left( a,b\right)\in R</math> אז לפעמים נקצר ונרשום: <math>\ aRb</math>.
 
הגדרה: בהינתן יחס בינארי בין A לB
#'''התחום של R''' הוא הקבוצה:
<center>
<math>\ \text{Domain}\left( R\right) =\{a\in A\vert \left( a,b\right)\in R\}</math>
</center>
#'''הטווח של R''' הוא הקבוצה:
<center>
<math>\ \text{Range}\left( R\right) =\{ b\in B\vert\left( a,b\right)\in R\} </math>
</center>
===דוגמאות===
* יהיו <math>\ A=\{ 1,2,3\}</math> ו <math>\ B=\{ a,b,c\}</math>, נגדיר יחס בין A לB על ידי:
שורה 45 ⟵ 55:
<math>\ b\mathcal{R}c</math> '''לא מתקיים''' <math>\ a\mathcal{R}c</math>. לדוגמה היחס 'עוקב של' הוא אי-טרנזיטיבי בקבוצת המספרים הרציונליים (אם b=a+1 וגם c=b+1 אז לא מתקיים c=a+1).
==פעולות על יחסים==
כיוון שגם יחסים הם קבוצות, כל פעולה שאנחנו יכולים לבצע בקבוצות אנחנו יכולים לבצע גם ביחסים. השימוש המעניין בכך, הוא כמובן, אילו מן התכונות לעיל נשמרות תחת כל אחת מהפעולת.
 
מלבד זאת, ישנן פעולת שניתן לבצע אך ורק על יחסים, ואלו פעולות של הרכבה והפכיות, שתיהן פעולות שיחזרו הרבה במהלך הספר ויש לנסות להבין אותן כעת טוב ככל שאפשר.
===איחוד===
===חיתוך===
שורה 53 ⟵ 66:
 
ליחסים האלו חשיבות רבה כל כך במתמטיקה שלא ניתן לסגור פרק על יחסים מבלי להביא סקירה של הגדרותיהם. חשיבותם הרבה תתברר בפרקי ההמשך של ספר זה, בהם נתמקד בכל אחד מהיחסים לעומק.
===[[תורת הקבוצות/פונקציות|פונקציה]]===
הגדרה: יחס בינארי R בין A לB, יקרא פונקציה מA לB אם מתקיים:
===יחס שקילות===
# אם <math>\left( a,b\right)\in R</math> וגם <math>\left( a,c\right)\in R</math> אזי, b=c.
===יחס סדר===
# <math>\ \text{Domain}\left( R\right) = A</math>
 
אם נרצה לדבר על פונקציה f מA לB נסמן זאת ב <math>f:A\rightarrow B</math>, ולכל <math>x\in A</math> נסמן את
ה<math>y\in B</math> היחיד המתאים לx ב <math>\ f(x)</math>.
====דוגמאות====
* נגדיר <math>\ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> על ידי: <math>\ f(n)=n+1</math>. נשים לב שבאותה מידה יכולנו לרשום:
<center>
<math>\ f=\{ (n,n+1)\vert n\in\mathbb{N}\}</math>
</center>
* לכל קבוצה לא ריקה A ואיבר בה <math>a\in A</math>, נוכל להגדיר את הפונקציה הקבועה <math> c_a:A\rightarrow A</math> המוגדרת על ידי:
<center>
<math>\ c_a(x)=a</math>
</center>
===[[תורת הקבוצות/יחסי שקילות|יחס שקילות]]===
המטרה של יחס שקילות היא להכליל את האופן שבו אנחנו תופסים שתי עצמים באותה הקבוצה כ"שקולים" באיזשהו אופן.
 
הגדרה: יחס ביניארי R בA יקרא '''יחס שקילות''' אם הוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי.
 
הערה: כשם שהאות f היא סימון מקובל לפונקציה, כך גם הסימנים "~", "=" ועוד בסגנון, לעיתים מסמלים יחס שקילות.
====דוגמאות====
* היחס <math>R_3</math> בדוגמאות לעיל, הוא יחס שקילות (על הקורא לוודא שאכן זה כך.)
*יחס הדמיון בין משולשים כפי שנלמד בתיכון, הוא יחס שקילות.
* נקבע מספר טבעי כלשהו k ונגדיר ב<math>\mathbb{Z}</math> את היחס
<center>
<math>\ \equiv_k=\{ (n,m): k\vert (m-n)\} </math>
</center>
 
===[[תורת הקבוצות/יחסי סדר|יחסי סדר]]===
יחסי הסדר באים להכליל את ההבנה של המושג "גדול מ" ו"קטן מ" לקבוצה כלשהי.
 
הגדרה: יחס בינארי R בA, יקרא '''יחס סדר חלקי בA''' אם הוא מקיים רפלקסיביות, אנטי-סימטריות וטרנזיטיביות. קבוצה A עם יחס סדר חלקי R, נקראת '''קבוצה סדורה חלקית''' או בקיצור, '''קס"ח'''.
 
====דוגמאות====
* יחס הסדר | במספרים השלמים הוא יחס סדר חלקי (על הקורא לוודא זאת.)
* היחס <math>\leq</math> המוכר לכולנו מבית הספר, הוא יחס סדר חלקי במספרים הרציונאליים.
 
כפי שניתן לראות מהדוגמה הראשונה, אם נסתכל ב<math>3,5\in\mathbb{Z}</math>, אזי <math>3\nmid 5</math> וגם <math>5\nmid 3</math>, מה שלא היינו מצפים היחס <math>\leq</math> שאנחנו רגילים אליו מההתעסקות במספרים ממשיים. במקרה הזה, נאמר ש3 ו5 '''לא ניתנים להשוואה''' ביחס |.
 
הגדרה: בהינתן A קס"ח על ידי היחס סדר R, אם עבור <math>a,b\in A</math> מתקיים ש <math>aRb</math> או <math>bRa</math>, אזי נאמר שa וb '''ניתנים להשוואה על ידי R'''.
 
הגדרה: בהינתן A קס"ח על ידי היחס סדר R, נאמר שR הוא '''יחס שלם''' או '''יחס ליניארי''' אם כל שני איברים בA ניתנים להשוואה על ידי R. במקרה זה נכנה את A '''קבוצה סדורה ליניארית''' או בקיצור, '''קס"ל'''.
 
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}