תורת הקבוצות/מכפלה קרטזית: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תיקון שגיאת הקלדה
Crazy Ivan (שיחה | תרומות)
מאין תקציר עריכה
שורה 3:
 
ראינו כבר בעבר שאין חשיבות לסדר שבו איברים מצויים בקבוצה. כך לדוגמה, {1,2,3} = {3,1,2}. היינו רוצים מושג שיעזור לנו להגדיר את המושג של "קבוצה סדורה", כפי שאנחנו מבינים אותו. כלומר, "קבוצה" שבה יש חשיבות לסדר. זוהי מטרתו העיקרית של הפרק הזה.
 
==זוג סדור==
הגדרה: בהינתן קבוצות A וBו-B ואיברים בהם a וbו-b בהתאמה, נגדיר את הזוג הסדור:
<center>
<math>\left( a ,b\right) = \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a,b \right\} \right\}</math>
שורה 11 ⟵ 12:
על הקורא לנסות לשכנע את עצמו מדוע ההגדרה הזו "נכונה", מהבחינה האינטואטיבית של "קבוצה בעלת חשיבות לסדר". מבחינה פורמלית, הדבר מוכח בטענה הבאה:
 
טענה: (x,y)=(a,b) אםםאם ורק אם x=a וגם y=b.
 
הוכחה: כיוון ראשון, נניח שמתקיים (x,y)=(a,b). לכן, יש שוויון בין הקבוצות { {x},{x,y}} ו-{{a},{a,b}}. לכן, הקבוצה {a} שווה לקבוצה {x} או לקבוצה {x,y}. כיוון שבאחת יש 2 איברים (אם לא, אז במקרה ש -x=y, הטענה נכונה בהכרח), x=a בהכרח.
מכאן, שהקבוצה {x,y} שווה לקבוצה {a,b}, ומהשוויון הראשון בהכרח מתקיים y=b. כנדרש.
 
נשים לב שתחת ההגדרה הזו, מתקיים שאם a שונה מbמ-b, אז בהכרח: (a,b) שונה מ-(b,a). כלומר, יש חשיבות לסדר.
 
==המכפלה הקרטזית==
כעת, נשתמש בהגדרה הנ"ל כדי לבנות משתי קבוצות נתונות A וBו-B, קבוצה חדשה, הקבוצה הזו תיקרא המכפלה הקרטזית של A וBו-B והיא מסומנת ומוגדרת כלהלן:
<center>
<math>
שורה 26 ⟵ 27:
</center>
 
כלומר, המכפלה הקרטזית היא אוסף כל הזוגות הסדורים, שהאיבר הראשון שלהם הוא מAמ-A והאיבר השני שלהם הוא מBמ-B.
 
===דוגמאות===
* נסתכל על הקבוצההקבוצות <math>\ A=\{ 0,1\} </math> ו -<math>\ B=\{ a,b,c\} </math> אזי, נקבל ש:
:: <math>A\times B= \{ (0,a),(0,b) ,(0,c), (1,a), (1,b), (1,c) \}</math>
* כאשר A וBו-B אותן קבוצות מהדוגמה הקודמת, נקבל ש:
:: <math>B\times A= \{ (a,0),(a,1) ,(b,0), (b,1), (c,0), (c,1) \}</math>
 
שורה 36 ⟵ 38:
בהינתן קבוצות <math>\ A_1, A_2, \ldots , A_n</math> נגדיר את המכפלה הקרטזית שלהן להיות:
<center>
<math>A_1\times A_2 \times\ldots\times A_n=\{ \left(a_1,a_2,\ldots , a_n\right)\vert a_1\in A_1,\ldots ,a_n\in A_n\}</math>
</center>
 
שורה 45 ⟵ 47:
 
==תכונות של המכפלה הקרטזית==
כבר בדוגמאות ראינו שבדרך כלל לא יתקיים ש -AXB=BXA כאשר A וBו-B קבוצות כלשהן. חלק מהתכונות להלן מושארות לקורא כתרגיל:
# הקבוצות <math>A\times \left( B\times C\right)</math>, <math>\ \left( A\times B\right) \times C</math>, <math>A\times B\times C</math> שונות זו מזו.
# <math>A\times \left( B\cup C\right) = A\times B \cup A\times C</math>
שורה 51 ⟵ 53:
#<math>A\times \left( B \cap C\right)= A\times B\cap A\times C </math>
#<math>A\times \left( B\Delta C\right) = A\times B \Delta A\times C</math>
# <math>(\alpha\subset A</math>) ו<math>\wedge (\beta\subset B</math>) אם\Leftrightarrow <math>(\alpha\times\beta)\subset (A\times B)</math>
 
<!-- יש להביא הוכחות לפחות לתכונות הקשות יותר, כמו תכונה 3 ותכונה 6. בנוסף, רצוי להוסיף עוד טענות קטנות בסגנון. -->
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
 
[[קטגוריה:תורת הקבוצות|*מכפלה קרטזית]]