תורת הקבוצות/מכפלה קרטזית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
תיקון שגיאת הקלדה |
Crazy Ivan (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
שורה 3:
ראינו כבר בעבר שאין חשיבות לסדר שבו איברים מצויים בקבוצה. כך לדוגמה, {1,2,3} = {3,1,2}. היינו רוצים מושג שיעזור לנו להגדיר את המושג של "קבוצה סדורה", כפי שאנחנו מבינים אותו. כלומר, "קבוצה" שבה יש חשיבות לסדר. זוהי מטרתו העיקרית של הפרק הזה.
==זוג סדור==
הגדרה: בהינתן קבוצות A
<center>
<math>\left( a ,b\right) = \left\{ \left\{ a\right\} , \left\{ a,b \right\} \right\}</math>
שורה 11 ⟵ 12:
על הקורא לנסות לשכנע את עצמו מדוע ההגדרה הזו "נכונה", מהבחינה האינטואטיבית של "קבוצה בעלת חשיבות לסדר". מבחינה פורמלית, הדבר מוכח בטענה הבאה:
טענה: (x,y)=(a,b)
הוכחה: כיוון ראשון, נניח שמתקיים (x,y)=(a,b). לכן, יש שוויון בין הקבוצות {
מכאן, שהקבוצה {x,y} שווה לקבוצה {a,b}, ומהשוויון הראשון בהכרח מתקיים y=b. כנדרש.
נשים לב שתחת ההגדרה הזו, מתקיים שאם a שונה
==המכפלה הקרטזית==
כעת, נשתמש בהגדרה הנ"ל כדי לבנות משתי קבוצות נתונות A
<center>
<math>
שורה 26 ⟵ 27:
</center>
כלומר, המכפלה הקרטזית היא אוסף כל הזוגות הסדורים, שהאיבר הראשון שלהם הוא
===דוגמאות===
* נסתכל על
:: <math>A\times B= \{ (0,a),(0,b) ,(0,c), (1,a), (1,b), (1,c) \}</math>
* כאשר A
:: <math>B\times A= \{ (a,0),(a,1) ,(b,0), (b,1), (c,0), (c,1) \}</math>
שורה 36 ⟵ 38:
בהינתן קבוצות <math>\ A_1, A_2, \ldots , A_n</math> נגדיר את המכפלה הקרטזית שלהן להיות:
<center>
<math>A_1\times A_2 \times\ldots\times A_n=\{ \left(a_1,a_2,\ldots , a_n\right)\vert a_1\in A_1,\ldots
</center>
שורה 45 ⟵ 47:
==תכונות של המכפלה הקרטזית==
כבר בדוגמאות ראינו שבדרך כלל לא יתקיים ש
# הקבוצות <math>A\times \left( B\times C\right)</math>, <math>\ \left( A\times B\right) \times C</math>, <math>A\times B\times C</math> שונות זו מזו.
# <math>A\times \left( B\cup C\right) = A\times B \cup A\times C</math>
שורה 51 ⟵ 53:
#<math>A\times \left( B \cap C\right)= A\times B\cap A\times C </math>
#<math>A\times \left( B\Delta C\right) = A\times B \Delta A\times C</math>
# <math>(\alpha\subset A
<!-- יש להביא הוכחות לפחות לתכונות הקשות יותר, כמו תכונה 3 ותכונה 6. בנוסף, רצוי להוסיף עוד טענות קטנות בסגנון. -->
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}
[[קטגוריה:תורת הקבוצות|
|