תורת החישוביות/כריעות שפות/משפט רייס: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←דוגמאות ליישומים: נווט תחתון |
←משפט רייס: שחזרתי להוכחה המקורית, הקודמת לא היתה ברורה כלל (והיו בה הרבה חלקים לא נחוצים) |
||
שורה 41:
{{משפט|תוכן=
לכל תכונה לא טריוויאלית
נניח תחילה שמתקיים <math>\emptyset \notin S</math> (כלומר, השפה הריקה אינה ב־S). נראה כי <math>L_S \notin R</math> על־ידי הרדוקציה <math>\text{HP} \le L_S</math>.
S אינה טריוויאלית אזי קיימת שפה <math>L_0</math> כך ש־<math>L_0 \in S</math>. מכיוון ש־S היא קבוצה של שפות ב־RE, גם <math>L_0 \in RE</math> ונניח כי <math>M_0</math> מקבלת אותה.
▲{{הוכחה|1=
נגדיר את הרדוקציה <math>f(\langle M \rangle, x) = \langle M_x \rangle</math> באופן הבא.
המכונה <math>M_x</math> על הקלט w מבצעת:
# מריצה את M על x
(הערה: אם הקלט אינו <math>(\langle M \rangle, x)</math> פלט הפונקציה f מוגדר בתור מ״ט הדוחה כל קלט (באופן זה השפה של מכונה הפלט הוא <math>L(M)=\emptyset \notin S</math>)
<math>\emptyset \notin S</math>▼
נוכיח את תכונות הרדוקציה:
#f מלאה: הגדרנו את f לכל קלט אפשרי
# f ברת־חישוב: ייצור <math>\langle M_X \rangle</math> מתוך המחרוזת <math>(\langle M \rangle, x)</math> ומתוך המחרוזת הקבועה <math>\langle M_0\rangle</math> קל לביצוע ע״י מ״ט שצריכה רק לשנות מעט את קידודי המכונות כדי שירוצו אחת אחר השניה...
# f תקפה:
#* אם M לא עוצרת על x, גם <math>M_x</math> לא עוצרת. <math>L(M_x) = \emptyset \notin S</math>
#* אם M עוצרת על x{{כ}}, <math>M_X</math> מתנהגת בדיוק כמו <math>M_0</math>{{כ}}, <math>L(M_x)=L(M_0)\in S</math>
#: לפיכך
#:: אם <math>(\langle M \rangle, x)\in\text{HP}</math> אז M עוצרת על x, ומתקיים <math>L(M_x)=L_0\in S</math>, ולכן <math>\langle M_x\rangle \in L_S</math>
#:: אם <math>(\langle M \rangle, x)\notin\text{HP}</math> אז M לא עוצרת על x, ומתקיים <math>L(M_x)=\emptyset\notin S</math>, ולכן <math>\langle M_x\rangle \notin L_S</math>
▲# מריצה את <math>M_0</math> על <math>w</math>, ומקבלת/דוחה כמותה.
▲מה קורה כאשר <math>\emptyset \notin S</math>?{{ש}}
מכיוון ש־S אינה טריוויאלית, ישנה <math>L\in RE, L\notin S</math>, וניתן לחזור על ההוכחה ע״י שימוש בשפה זו במקום בשפה <math>\emptyset</math>.
דרך אחרת היא להסתכל על התכונה המשלימה <math>\overline S = RE \smallsetminus S</math>. מתקיים <math>\emptyset \notin \overline{S}</math> ולכן, כפי שהוכחנו <math>L_{\overline{S}}\notin R</math>. נשים לב ש
<center><math>L_{\overline{S}}=\{\langle M\rangle \mid L(M) \in \overline S\} = \{\langle M\rangle \mid L(M) \notin S\} = \overline{L_S}</math></center>
כלומר <math>\overline {L_S} \notin R</math>, ומכיוון ש־R סגורה למשלים, זו הוכחה ש־<math>L_S \notin R</math> כנדרש.
==משפט רייס המורחב==
|