חשבון אינפיניטסימלי/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 24:
===סימון===
השימוש בפונקציות הוא כל-כך נרחב עד שנוצרו סימונים מיוחדים להן; הסימונים הם מעט מעורפלים לעיתים, אז היכרות איתם חשובה על-מנת להבין את הכוונה של שוויון או נוסחה.</br>
כאשר מתייחסים לפונקציה מסויימת <math>\ f</math>, אנו בדרך-כלל מעוניינים לדעת מהו המשתנה הבלתי תלוי שלה ''x''. לכן, כשאנו מתכוונים לפונקציה <math>\ f</math>, בדרך-כלל לא נכתוב <math>\ f</math>, אלא <math>\ f(x)</math>. הפונקציה שאליה אנו מתייחסים עתה היא "<math>\ f</math> של ''x''". כך, המשתנה הבלתי תלוי עכשיו מוסף למשתנה התלוי - רוצה לומר, הכוונה עתה היא שאנו מעוניינים לדעת מהם שני המשתנים. כתיב זה שימושי כאשר ברצוננו לדעת את ערכה של הפונקציה בהנתן משתנה מסויים. לדומא, אם הפונקציה היא
</br>
<div align=left><math>f(x) = 3x+2\,</math></div></br>
שורה 60:
===מניפולציות על פונקציות===
אפשר לתמרן פונקציות באופן דומה לכל משתנה אחר; אפשר לחבר אותן, להכפיל אותן, להעלות אותם בחזקה, וכד'. לצורך העניין, נניח כי
<div align=left>
<math>f(x)=3x+2\,</math>
.<math>g(x)=x^2\,</math>
</div>
אז
<div align=left>
,<math>f+g=(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(3x+2)+(x^2)=x^2+3x+2\,</math>
,<math>f-g=(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(3x+2)-(x^2)=-x^2+3x+2\,</math>
,<math>f\times g=(f\times g)(x)=f(x)\times g(x)=(3x+2)\times(x^2)=3x^3+2x^2</math>
.<math>\frac{f}{g}=\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{3x+2}{x^2}=\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}</math>
</div>
בכל אופן, ישנה דרך ספציפית אחת לשלב פונקציות שאינה מתאימה לשימוש עם משתנים אחרים. ערכה של פונקציה <math>\ f</math> תלוי בערכו של משתנה עוד משתנה <math>\ x</math>; אך, משתנה זה יכול להיות שווה לפונקציה אחרת <math>\ g</math>, אז ערכו תלוי בערכו של משתנה שלישי. אם זהו המקרה, אז המשתנה הראשון הוא פונקציה <math>\ h</math> של המשתנה השלישי; פונקציה זו <math>\ (h)</math> נקראת ה'''הרכבה''' של שתי הפונקציות האחרות <math>\ (f, g)</math>. ההרכבה מסומנת על-ידי
<div align=left>
.<math>f\circ g=(f\circ g)(x)=f(g(x))</math>
</div>קרי: "ההרכבה של <math>\ f</math> עם <math>\ g</math>".
לצורך העניין, נניח כי
<div align=left>
<math>f(x)=3x+2\,</math>
.<math>g(x)=x^2\,</math>
</div>
אז
<div align=left>
.<math>h(x)=f(g(x))=f(x^2)=3(x^2)+2=3x^2+2\,</math>
</div>
כאן, <math>\ h</math> היא ההרכבה של <math>\ f</math> ו-<math>\ g</math>. נשים לב כי ההרכבה אינה חילופית (קומוטטיבית):
<div align=left>
,<math>f(g(x))=3x^2+2\,</math>
,<math>g(f(x))=g(3x + 2)=(3x + 2)^2=9x^2+12x+4\,</math>
:<math>f(g(x))\ne g(f(x))\,</math>.
</div>
הרכבות של פונקציות מאוד נפוצות, בעיקר מכיוון שהפונקציות עצמן מאוד נפוצות. לדוגמא: חיבור, כפל וכד', יכולים להיות מבוטאים כפונקציות של יותר ממשתנה אחד בלתי תלוי:
<div align=left>
,<math>\operatorname{plus}(x,y)=x+y</math>
.<math>\operatorname{times}(x,y)=x\times y</math>
</div>
כך, הביטוי <math>2 \times 3 + 4</math> הוא בעצם הרכבה של פונקציות:
<div align=left>
<math>2\times 3+4=\operatorname{times}(2,3)+4=\operatorname{plus}( \operatorname{times}(2,3), 4)</math>
</div>
ומכיוון שהפונקציה ''times'' שווה ל-6 אם <math>\ y=3</math> ו-<math>\ x=2</math> אז
<div align=left>
:<math>\operatorname{plus}(\operatorname{times}(2,3),4)= \operatorname{plus}(6,4)</math>.
</div>
ומכיוון שהפונקציה ''plus'' שווה ל-10 אם <math>\ y=4</math> ו-<math>\ x=6</math> אז
<div align=left>
:<math>(2\times 3)+4=\operatorname{plus}(\operatorname{times}(2,3),4)=\operatorname{plus}(6,4)=10</math>.
</div>
===תחום וטווח===
=====סימון=====
| |||