ויקיספר

תורת החישוביות/כריעות שפות/משפט רייס: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Gran (שיחה | תרומות)
2,595 עריכות
Atavory (שיחה | תרומות)
7,521 עריכות
שורה 40:
{{משפט|תוכן=
לכל תכונה לא טריוויאלית S של שפות ב־RE מתקיים:{{רווח קשיח|10}} <math>L_S \notin R</math>{{רווח קשיח|10}}}}
{{הוכחה:|1=
נניח תחילה שמתקיים <math>\emptyset \notin S</math> (כלומר, השפה הריקה אינה ב־S). נראה כי <math>L_S \notin R</math> על־ידי הרדוקציה <math>\text{HP} \le L_S</math>.
 
נראה כי <math>L_S \notin R</math> על־ידי הרדוקציה <math>\text{HP} \le L_S</math>. כלומר, נניח על דרך השלילה <math>L_S \in R</math>, ונראה כי אפשר להכריע לכל מ"ט <math>M</math> וקלט <math>x</math>, האם <math>M</math> עוצרת על <math>x</math> ((מה ש[[תורת_החישוביות/כריעות_שפות/שפות_שאינן_כריעות#שפות_שאינן_כריעות|ידוע שאינו נכון]]).
S אינה טריוויאלית אזי קיימת שפה <math>L_0</math> כך ש־<math>L_0 \in S</math>. מכיוון ש־S היא קבוצה של שפות ב־RE, גם <math>L_0 \in RE</math> ונניח כי <math>M_0</math> מקבלת אותה.▼
 
בלי הגבלת הכלליות, נניח כי ה[[תורת החישוביות/כריעות שפות|שפה הריקה]] אינה ב־<math>S</math> (כלומר
נגדיר את הרדוקציה <math>f(\langle M \rangle, x) = \langle M_x \rangle</math> באופן הבא.
מה קורה כאשר <math>\emptyset \notin S</math>?{{ש}}).▼
המכונה <math>M_x</math> על הקלט w מבצעת:
אחרת, פשוט נוכיח את המשפט לגבי התכונה המשלימה <math>\overline S</math> -
# מריצה את M על x
כפי שראינו לעיל, גם המשלים של תכונה לא-טריוויאלית הוא תכונה לא טריוויאלית, והכרעה רקורסיבית לגבי <math>S</math> שקולה להכרעה רקורסיבית לגבי <math>\overline S</math>.
# מריצה את <math>M_0</math> על w, ומקבלת/דוחה כמותה.▼
(הערה: אם הקלט אינו <math>(\langle M \rangle, x)</math> פלט הפונקציה f מוגדר בתור מ״ט הדוחה כל קלט (באופן זה השפה של מכונה הפלט הוא <math>L(M)=\emptyset \notin S</math>)
 
נוכיח את תכונות הרדוקציה:
#f מלאה: הגדרנו את f לכל קלט אפשרי
# f ברת־חישוב: ייצור <math>\langle M_X \rangle</math> מתוך המחרוזת <math>(\langle M \rangle, x)</math> ומתוך המחרוזת הקבועה <math>\langle M_0\rangle</math> קל לביצוע ע״י מ״ט שצריכה רק לשנות מעט את קידודי המכונות כדי שירוצו אחת אחר השניה...
# f תקפה:
#* אם M לא עוצרת על x, גם <math>M_x</math> לא עוצרת. <math>L(M_x) = \emptyset \notin S</math>▼
#* אם M עוצרת על x{{כ}}, <math>M_X</math> מתנהגת בדיוק כמו <math>M_0</math>{{כ}}, <math>L(M_x)=L(M_0)\in S</math>▼
#: לפיכך
#:: אם <math>(\langle M \rangle, x)\in\text{HP}</math> אז M עוצרת על x, ומתקיים <math>L(M_x)=L_0\in S</math>, ולכן <math>\langle M_x\rangle \in L_S</math>
#:: אם <math>(\langle M \rangle, x)\notin\text{HP}</math> אז M לא עוצרת על x, ומתקיים <math>L(M_x)=\emptyset\notin S</math>, ולכן <math>\langle M_x\rangle \notin L_S</math>
 
▲היות ש-<math>S</math> אינה טריוויאלית, אזיבהכרח קיימת שפה <math>L_0</math> כך ש־<math>L_0 \in S</math>. מכיוון ש־Sש־<math>S</math> היא קבוצה של שפות ב־REב־<math>RE</math>, גם <math>L_0 \in RE</math>, ונניח כי <math>M_0</math> מקבלתהיא המ"ט המקבלת אותה.
 
נגדיר את הרדוקציה ע"י מ"ט <math>M_x</math>, הפועלת כך. בנהתן קלט <math>w</math>, המ"ט <math>M_x</math>:
▲מה קורה כאשר <math>\emptyset \notin S</math>?{{ש}}
# מריצה את <math>M</math> על <math>x</math> (ומתעלמת מהתוצאה, אם יש), ואז
מכיוון ש־S אינה טריוויאלית, ישנה <math>L\in RE, L\notin S</math>, וניתן לחזור על ההוכחה ע״י שימוש בשפה זו במקום בשפה <math>\emptyset</math>.
▲# מריצה את <math>M_0</math> על <math>w</math>, ומקבלת/דוחה כמותה.
 
 
דרך אחרת היא להסתכל על התכונה המשלימה <math>\overline S = RE \smallsetminus S</math>. מתקיים <math>\emptyset \notin \overline{S}</math> ולכן, כפי שהוכחנו <math>L_{\overline{S}}\notin R</math>. נשים לב ש
מהנחתנו בשלילה ש-<math>L_S \in R</math>, נובע שיש מ"ט רקורסיבית <math>Q</math> המכריעה זאת. כדי להכריע האם <math>M</math> עוצרת על <math>x</math>, נשאל את <math>Q</math> האם <math>M_x \in L_S</math>:
<center><math>L_{\overline{S}}=\{\langle M\rangle \mid L(M) \in \overline S\} = \{\langle M\rangle \mid L(M) \notin S\} = \overline{L_S}</math></center>
▲#* אם <math>M</math> לאאיננה עוצרת על <math>x</math>, אז גם <math>M_x</math> לאאיננה עוצרת על אף <math>w</math>. אם כך, <math>L(M_x) = \emptyset \notin S</math>, ו-<math>Q</math> תכריע ש-<math>M_x \notin L_S</math>.
כלומר <math>\overline {L_S} \notin R</math>, ומכיוון ש־R סגורה למשלים, זו הוכחה ש־<math>L_S \notin R</math> כנדרש.
▲#* אם <math>M</math> עוצרת על x{{כ}}, אז <math>M_X</math> מתנהגת בדיוק כמו <math>M_0</math>{{כ}}. אם כך, <math>L(M_x)=L(M_0)\in S</math>, ו-<math>Q</math> תכריע ש-<math>M_x \in L_S</math>.
 
נשים לב שהרדוקציה אכן ברת חישוב - בהנתן <math>(\langle M \rangle, x)</math>, קל לבנות פונקציה המשרשת את שתי מ"ט. כמו כן, לפי הנחתנו בשלילה, הקריאה ל<math>Q</math> מסתיימת גם כן.
}}
 
==משפט רייס המורחב==
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/תורת_החישוביות/כריעות_שפות/משפט_רייס"