הסתברות/מבוא/המודל ההסתברותי/תרגילים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Atavory (שיחה | תרומות)
יצירת דף עם התוכן "{{בעבודה}} {{הסתברות}} ===דוגמה=== דוגמה זו ממחישה כי כאשר מדובר בבחירה מקרית ובמרחב מדגם סימ..."
 
Atavory (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 2:
 
{{הסתברות}}
 
'''דוגמה:''' אם אנו מגרילים כדור מתוך אוסף אינסופי של כדורים, כאשר לכדור ה-k-י יש הסתברות p<sub>k</sub> להבחר. במקרה זה מנסח השאלה יכול להגדיר שהסדרה {p<sub>k</sub>} היא, למשל, סדרה הנדסית עם מנה q, ואז ניתן למצוא את p<sub>k</sub>:
:<math>\ \sum\limits_{k=1}^\infty p_k=1\ \Rightarrow\ p_k=(1-q)q^{k-1}</math>
כעת, על מנת לקבל את ההסתברות להגרלת כדור זוגי, נחשב את הטור המתאים:
:<math>\ \mathbb{P}(Even)= \sum\limits_{k=1}^\infty (1-q)q^{2k-1}= {1-q\over q}\sum\limits_{k=1}^\infty q^{2k}= {1-q\over q}{q^2\over 1-q^2}= {q\over 1+q}</math>
 
'''דוגמה:''' שני שחקנים, א' ו-ב', מוציאים זה אחר זה כדור אחד מתוך קופסה המכילה n כדורים לבנים וכדור אחד אדום. אם התקבל כדור אדום - אותו שחקן ניצח. אם התקבל כדור לבן - הוא מוחזר לקופסה והתור עובר לשחקן האחר. אם שחקן א' מתחיל, מה צריך להיות n המינימלי כדי שההסתברות של שחקן ב' לנצח תהיה לפחות 45% ..?
 
'''פתרון:''' כדי ששחקן ב' ינצח בתור הראשון שלו, שחקן א' צריך להפסיד. נחלק את המשחק לסבבים:
:<math>\ \mathbb{P}(B_1)= {n\over n+1}{1\over n+1}</math>
בדומה, ההסתברות ששחקן ב' ינצח בסיבוב השני גוררת שני הפסדים לא' והפסד אחד ל-ב':
:<math>\ \mathbb{P}(B_2)= \left({n\over n+1}\right)^3{1\over n+1}</math>
כללית, ההסתברות של שחקן ב' לנצח בסבב ה-k-י היא:
:<math>\ \mathbb{P}(B_k)= \left({n\over n+1}\right)^{2k-1}{1\over n+1}</math>
כעת, כדי למצוא את ההסתברות של שחקן ב' לנצח במשחק, נסכם את כל תוצאות המשחק האפשריות:
:<math>\ \mathbb{P}(B)= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\left({n\over n+1}\right)^{2k-1}{1\over n+1}= {1\over n+1}{{n\over n+1}\over 1-\left({n\over n+1}\right)^2}= {n\over 2n+1}</math>
כעת נמצא את ה-n המבוקש:
:<math>\ {n\over 2n+1}>0.45\ \Rightarrow\ n>4.5\ \Rightarrow\ n=5</math>
 
 
===דוגמה===