הסתברות/מבוא/המודל ההסתברותי: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Atavory (שיחה | תרומות)
Atavory (שיחה | תרומות)
שורה 96:
 
ראשית, קל לראות כי מתקיים המשפט הבא:
{{משפט|שם=איחוד מאורעות לא-בהכרח זרים|תוכן=
 
לכל שני מאורעות <math>A</math> ו-<math>B</math>,
שורה 123:
}}
 
אם מחברים למשפט:איחוד מאורעות לא-בהכרח זרים, את האקסיומה השניה, נקבל את התוצאה הבאה:
אפשר להכליל זאת למשפט הבא:
{{משפט|שם=הסתברות איחוד שני מאורעות אינה יותר גדולה מסכום הסתברויותיהן|תוכן=
<math>\ \mathbb{P}(A\cup B\cup C) \leq \mathbb{P}(A)+ \mathbb{P}(B)</math>.
}}
 
אפשר להכליל את משפט:איחוד מאורעות לא-בהכרח זרים, למשפט הבא:
{{משפט|שם=עקרון ההכלה וההפרדה (לשלושה מאורעות)|תוכן=
<math>\ \mathbb{P}(A\cup B\cup C)= \mathbb{P}(A)+ \mathbb{P}(B)+ \mathbb{P}(C)- [ \mathbb{P}(A\cap B)+ \mathbb{P}(B\cap C)+ \mathbb{P}(A\cap C)]+ \mathbb{P}(A\cap B\cap C)</math>
}}
 
שורה 144 ⟵ 149:
** (להשלים: הכללה)
* הכלה:
* תכונת המשלים: <math>\ \mathbb{P}(A\cup A^c)= \mathbb{P}(\Omega)=1 \ \Rightarrow \ \mathbb{P}(A^c)= 1-\mathbb{P}(A)</math>
 
* איחוד מאורעות A<sub>i</sub> זרים: <math>\ \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \right)=\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)</math>
* איחוד מאורעות לא זרים:
** <math>\ \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \right) \le \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)</math>
** <math>\ \mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+ \mathbb{P}(B)- \mathbb{P}(A\cap B)</math>
**
** (להשלים: הכללה)
* הכלה: <math>\ A\subseteq B \ \Rightarrow \ \mathbb{P}(A)\le \mathbb{P}(B)</math>
* תכונת המשלים: <math>\ \mathbb{P}(A\cup A^c)= \mathbb{P}(\Omega)=1 \ \Rightarrow \ \mathbb{P}(A^c)= 1-\mathbb{P}(A)</math>