|
כעת, על מנת לקבל את ההסתברות להגרלת כדור זוגי, נחשב את הטור המתאים:
<math>\sum_k \left[ p q^{2k} \right] = \frac{p}{1 - q^2}</math>
==משחק הוצאת כדורים מקופסה==
'''דוגמה:''' שני שחקנים, א' ו-ב', מוציאים זה אחר זה כדור אחד מתוך קופסה המכילה n כדורים לבנים וכדור אחד אדום. אם התקבל כדור אדום - אותו שחקן ניצח. אם התקבל כדור לבן - הוא מוחזר לקופסה והתור עובר לשחקן האחר. אם שחקן א' מתחיל, מה צריך להיות n המינימלי כדי שההסתברות של שחקן ב' לנצח תהיה לפחות 45% ..?
'''פתרון:''' כדי ששחקן ב' ינצח בתור הראשון שלו, שחקן א' צריך להפסיד. נחלק את המשחק לסבבים:
:<math>\ \mathbb{P}(B_1)= {n\over n+1}{1\over n+1}</math>
בדומה, ההסתברות ששחקן ב' ינצח בסיבוב השני גוררת שני הפסדים לא' והפסד אחד ל-ב':
:<math>\ \mathbb{P}(B_2)= \left({n\over n+1}\right)^3{1\over n+1}</math>
כללית, ההסתברות של שחקן ב' לנצח בסבב ה-k-י היא:
:<math>\ \mathbb{P}(B_k)= \left({n\over n+1}\right)^{2k-1}{1\over n+1}</math>
כעת, כדי למצוא את ההסתברות של שחקן ב' לנצח במשחק, נסכם את כל תוצאות המשחק האפשריות:
:<math>\ \mathbb{P}(B)= \sum\limits_{k=1}^{\infty}\left({n\over n+1}\right)^{2k-1}{1\over n+1}= {1\over n+1}{{n\over n+1}\over 1-\left({n\over n+1}\right)^2}= {n\over 2n+1}</math>
כעת נמצא את ה-n המבוקש:
:<math>\ {n\over 2n+1}>0.45\ \Rightarrow\ n>4.5\ \Rightarrow\ n=5</math>
==בחירת אנשים מקבוצת גברים ונשים==
| 