ויקיספר

הסתברות/מבוא/נוסחת בייס: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Atavory (שיחה | תרומות)
7,521 עריכות
Atavory (שיחה | תרומות)
7,521 עריכות
שורה 26:
}}
 
===דוגמאות===
===דוגמא א'===
* נניח שלפנינו שני כדים. בכד א' שלושה כדורים אדומים ושני כחולים. בכד ב' שני כדורים אדומים ושלושה כחולים. מטילים מטבע הוגן (הסתברות 0.5 לכל צד). אם יצא עץ שולפים באקראי כדור מכד א' ואם יצא פלי שולפים באקראי כדור מכד ב'. השאלה: בהינתן ששלפנו כדור אדום, מה הסיכוי שיצא עץ?▼
 
נניח שלפנינו שני כדים.
:'''פתרון:''' ברור כי בכד א' יותר כדורים אדומים מאשר בכד ב'. לכן סיכוי גדול יותר שהוצאנו כדור מכד א' (עץ) מאשר מכד ב'. נראה זאת בצורה מדוייקת. <br />▼
#בכד א' שלושה כדורים אדומים ושני כחולים.
#בכד ב' שני כדורים אדומים ושלושה כחולים. מטילים מטבע הוגן (הסתברות 0.5 לכל צד).
 
▲* נניח שלפנינו שני כדים. בכד א' שלושה כדורים אדומים ושני כחולים. בכד ב' שני כדורים אדומים ושלושה כחולים. מטילים מטבע הוגן (הסתברות 0.5 לכל צד). אם יצא עץ שולפים באקראי כדור מכד א' ואם יצא פלי שולפים באקראי כדור מכד ב'. השאלה: בהינתן ששלפנו כדור אדום, מה הסיכוי שיצא עץ?
 
▲:'''פתרון:''' ברור כי בכד א' יותר כדורים אדומים מאשר בכד ב'. לכן סיכוי גדול יותר שהוצאנו כדור מכד א' (עץ) מאשר מכד ב'. נראה זאת בצורה מדוייקת. <br />
:נסמן מאורע H: יצא עץ בהטלת המטבע = נבחר כד א'. נסמן מאורע R: שלפנו כדור אדום. נחשב את ההסתברויות הבאות:<br />
:<math>\mathbb{P}(H) = \mathbb{P}(H^c) = 1/2</math> כי הסיכוי לעץ ופלי שווה.<br />
:<math>\mathbb{P}(R|H) = 3/5</math> כי אם יצא עץ, סיכוי של 3 מתוך 5 לאדום. <br />
:<math>\mathbb{P}(R|H^c) = 2/5</math> כי אם יצא פלי סיכוי של 2 מתוך 5 לאדום. <br />
:ועכשיו ע"פ נוסחת בייס להסתברות שלמה:<br />
:<math>\mathbb{P}(H|R) =
{\mathbb{P}(R|H)\mathbb{P}(H) \over \mathbb{P}(R|H)\mathbb{P}(H) + \mathbb{P}(R|H^c)\mathbb{P}(H^c)} =
{{3 \over 5}\times{1 \over 2} \over {{3 \over 5}\times{1 \over 2}+{2 \over 5}\times{1 \over 2}}}
= 3/5</math>
 
===דוגמה ב'===
* נמלה צועדת על ציר המספרים, כך שבכל צעד היא מתקדמת יחידה אחת ימינה בהסתברות p, ויחידה אחד שמאלה בהסתברות q, הכל באופן בלתי-תלוי.
:*מהי ההסתברות שהנמלה תחזור לראשית בפעם הראשונה כעבור 6 צעדים?
::'''פתרון:''' אחרי שבחרנו כיוון הליכה (לכיוון החיובי אן השלילי), אין אנו יכולים לחזור לראשית לפני הצעד השישי, ולכן נבחן רק מקרה אחד. אם כן, נניח שהצעד הראשון הוא בכיוון החיובי. לכן גם הצעד השני חייב להיות בכיוון החיובי, אחרת חזרנו לראשית. כלומר כבר יש לנו בוודאות את הצירוף "pp". הצעדים היחידים שיביאו אותנו לראשונה לראשית כעבור 6 מהלכים הם שני הצירופים "pqqq", "qpqq". ולכן:▼
 
::<math>\ p_1=pp(pqqq+qpqq)= 2(pq)^3</math>▼
 
::כעת, עבור הכיוון השלילי עלינו פשוט להחליף בצירופים הקודמים את p,q, כך שנקבל:▼
▲::'''פתרון:''' אחרי שבחרנו כיוון הליכה (לכיוון החיובי אן השלילי), אין אנו יכולים לחזור לראשית לפני הצעד השישי, ולכן נבחן רק מקרה אחד. אם כן, נניח שהצעד הראשון הוא בכיוון החיובי. לכן גם הצעד השני חייב להיות בכיוון החיובי, אחרת חזרנו לראשית. כלומר כבר יש לנו בוודאות את הצירוף "pp". הצעדים היחידים שיביאו אותנו לראשונה לראשית כעבור 6 מהלכים הם שני הצירופים "pqqq", "qpqq". ולכן:
::<math>\ p_2=qq(qppp+pqpp)= 2(pq)^3</math>▼
▲::<math>\ p_1=pp(pqqq+qpqq)= 2(pq)^3</math>
::שימו לב כי קיבלנו תוצאה זהה מאחר ומספר הצעדים הוא זוגי, ונדרשים מספר צעדים זהה בכל כיוון. יתרה מזאת: עקרונית, מותר להכפיל במקרה כזה את אחת ההסתברויות p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub> פי 2 כדי לקבל את ההסתברות המלאה רק כאשר p=q=0.5 כי אחרת מרחב המדגם אינו סימטרי. כאן, יצא במקרה שהכפלה פי 2 נותנת את התשובה הנכונה.▼
▲::כעת, עבור הכיוון השלילי עלינו פשוט להחליף בצירופים הקודמים את p,q, כך שנקבל:
::לבסוף: <math>\ p=p_1+p_2= 4(pq)^3</math>.▼
▲::<math>\ p_2=qq(qppp+pqpp)= 2(pq)^3</math>
:* מהי ההסתברות שהנמלה תהיה בנקודה 1 אחרי הצעד החמישי, אם אחרי הצעד השמיני היא הייתה בראשית?▼
▲::שימו לב כי קיבלנו תוצאה זהה מאחר ומספר הצעדים הוא זוגי, ונדרשים מספר צעדים זהה בכל כיוון. יתרה מזאת: עקרונית, מותר להכפיל במקרה כזה את אחת ההסתברויות p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub> פי 2 כדי לקבל את ההסתברות המלאה רק כאשר p=q=0.5 כי אחרת מרחב המדגם אינו סימטרי. כאן, יצא במקרה שהכפלה פי 2 נותנת את התשובה הנכונה.
::'''פתרון:''' על פי נוסחת בייס:▼
▲::לבסוף: <math>\ p=p_1+p_2= 4(pq)^3</math>.
::<math>\ \mathbb{P}(M_5=1|M_8=0)= {\mathbb{P}(M_8=0|M_5=1)\mathbb{P}(M_5=1)\over \mathbb{P}(M_8=0)}</math>▼
 
::האפשרויות להגיע בצעד החמישי ל-1 הן כל הסידורים האפשריים של {pppqq}. יש כאן 5 עצמים מ-2 סוגים שונים (2 מסוג q ו-3 מסוג p), ולכן סך כל הצירופים האפשריים הוא: <math>\ {5!\over 3!2!}=10</math> ולכן:▼
 
::<math>\ \mathbb{P}(M_5=1)= 10p^3q^2</math>▼
▲:* מהי ההסתברות שהנמלה תהיה בנקודה 1 אחרי הצעד החמישי, אם אחרי הצעד השמיני היא הייתה בראשית?
::האפשרויות להגיע בצעד השמיני ל-0 הן כל הסידורים האפשריים של {ppppqqqq}. יש כאן 8 עצמים מ-2 סוגים שונים (4 מסוג p ו-4 מסוג q), ולכן סך כל הצירופים האפשריים הוא: <math>\ {8!\over 4!4!}=70</math> ולכן:▼
 
::<math>\ \mathbb{P}(M_8=0)= 70p^4q^4</math>▼
 
::האפשרויות להגיע ל-0 בצעד השמיני אם בצעד החמישי אנו ב-1 הן כל הסידורים האפשריים של {pqq}. יש כאן 3 עצמים מ-2 סוגים שונים (1 מסוג p ו-2 מסוג q) ולכן סך כל הצירופים האפשריים הוא: <math>\ {3!\over 1!2!}=3</math> ולכן:▼
▲::'''פתרון:''' על פי נוסחת בייס:
::<math>\ \mathbb{P}(M_8=0|M_5=1)= 3pq^2</math>▼
▲::<math>\ \mathbb{P}(M_5=1|M_8=0)= {\mathbb{P}(M_8=0|M_5=1)\mathbb{P}(M_5=1)\over \mathbb{P}(M_8=0)}</math>
::לסיכום:▼
 
::<math>\ \mathbb{P}(M_5=1|M_8=0)= {\mathbb{P}(M_8=0|M_5=1)\mathbb{P}(M_5=1)\over \mathbb{P}(M_8=0)}= {3pq^2\cdot 10p^3q^2\over 70p^4q^4}= {3\over 7}</math>▼
▲::האפשרויות להגיע בצעד החמישי ל-1 הן כל הסידורים האפשריים של {pppqq}. יש כאן 5 עצמים מ-2 סוגים שונים (2 מסוג q ו-3 מסוג p), ולכן סך כל הצירופים האפשריים הוא: <math>\ {5!\over 3!2!}=10</math> ולכן:
::שימו לב כי ההסתברות אינה תלויה בערכי p,q!!▼
▲::<math>\ \mathbb{P}(M_5=1)= 10p^3q^2</math>
 
▲::האפשרויות להגיע בצעד השמיני ל-0 הן כל הסידורים האפשריים של {ppppqqqq}. יש כאן 8 עצמים מ-2 סוגים שונים (4 מסוג p ו-4 מסוג q), ולכן סך כל הצירופים האפשריים הוא: <math>\ {8!\over 4!4!}=70</math> ולכן:
▲::<math>\ \mathbb{P}(M_8=0)= 70p^4q^4</math>
 
▲::האפשרויות להגיע ל-0 בצעד השמיני אם בצעד החמישי אנו ב-1 הן כל הסידורים האפשריים של {pqq}. יש כאן 3 עצמים מ-2 סוגים שונים (1 מסוג p ו-2 מסוג q) ולכן סך כל הצירופים האפשריים הוא: <math>\ {3!\over 1!2!}=3</math> ולכן:
▲::<math>\ \mathbb{P}(M_8=0|M_5=1)= 3pq^2</math>
 
▲::לסיכום:
▲::<math>\ \mathbb{P}(M_5=1|M_8=0)= {\mathbb{P}(M_8=0|M_5=1)\mathbb{P}(M_5=1)\over \mathbb{P}(M_8=0)}= {3pq^2\cdot 10p^3q^2\over 70p^4q^4}= {3\over 7}</math>
▲::שימו לב כי ההסתברות אינה תלויה בערכי p,q!!
 
==קישורים חיצוניים==
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/הסתברות/מבוא/נוסחת_בייס"