הסתברות/מבוא/נוסחת בייס/תרגילים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 10:
נסמן ב-<math>S</math> את התכונה "האדם חבר בקופה הקטנה", כך ש- <math>\ \mathbb{P}(S) = 0.25</math> ו-<math>\ \mathbb{P}(S^{c}) = 0.75</math> (הקבוצה <math>\ S^c</math> היא ה[[w:משלים (תורת הקבוצות)|משלימה]] של <math>\ S</math>). נסמן ב-<math>H</math> את התכונה "האדם מרוצה". לפי הסקר <math>\ \mathbb{P}(H|S) = 0.9</math>, בעוד ש-<math>\ \mathbb{P}(H|S^c) = 0.8</math>. לפי נוסחת ההסתברות השלמה, <math>\ \mathbb{P}(H) = \mathbb{P}(H|S) \mathbb{P}(S) + \mathbb{P}(H|S^c) \mathbb{P}(S^c) = 0.9\cdot 0.25 + 0.8 \cdot 0.75 = 0.825</math>. לכן הסיכוי של אדם מרוצה להשתייך לקופה הקטנה, שווה ל-<math>\ \mathbb{P}(S|H) = \frac{\mathbb{P}(S \cap H)}{\mathbb{P}(H)} = \frac{\mathbb{P}(H|S)\mathbb{P}(S)}{\mathbb{P}(H)} = \frac{0.9 \cdot 0.25}{0.825} = \frac{3}{11}</math>.
}}
==בעיית מונטי הול==
בשעשועון טלוויזיה, מוצגות שלוש דלתות בפני משתתף. מאחורי אחת מהן יש פרס, ומאחורי שתי האחרות אין כלום. המשתתף צריך לבחור דלת, והוא יזכה במה שאחוריה. המשתתף בחר בדלת, נניח דלת A. בשלב זה מחוייב המנחה לבחור דלת אחרת מזו שבחר המשתתף - דלת שאין מאחוריה פרס - לפתוח אותה (ולהראות שאין לה פרס), ולשאול את המתחרה האם הוא רוצה להתחרט ולבחור בדלת הנותרת. נניח שהדלת שפותח מונטי היא B, והדלת השלישית היא C.
לכאורה, המתחרה אינו יודע מה יש מאחורי דלתות A ו-C, ולכן אין זה משנה האם הוא מתחרט ועובר לדלת C או לא. האם זה נכון?
{{מוסתר|ta2 = right|הפתרון|2=
נגדיר כ-<math>\mathbb{P}(A)</math> את הסיכוי שהפרס מאחורי דלת A, כ-<math>\mathbb{P}(B)</math> את הסיכוי שהפרס מאחורי דלת B, וכ-<math>\mathbb{P}(C)</math> את הסיכוי שהפרס מאחורי דלת C. משיקולי סימטריה,
\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(C) = \frac{1}{3}
לאחר שהמתחרה בוחר את דלת A, נגדיר את 'B כארוע שבו מונטי בוחר לפתוח את דלת B. אז:
# <math>\mathbb{P}(B' | A) = 0.5</math>, משום שאם הפרס היה מאחורי דלת A, מונטי יכל לפתוח הן את דלת B והן את דלת C.
# <math>\mathbb{P}(B' | C) = 1</math>, מפני שמונטי מחוייב לפתוח דלת אחרת מזו שבחר המשתתף שאין מאחוריה פרס, והאפשרות היחידה היא דלת B.
# <math>\mathbb{P}(B' | B) = 0</math>, מאותה סיבה.
כעת נשתמש בחוק בייס בגרסת ההסתברות המלאה, ונמצא כי
<center><math> \mathbb{P}(A | B') = \frac{ \mathbb{P}(B' | A) }{ \mathbb{P}(B' | A) \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B' | B) \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(B' | C) \mathbb{P}(C) } =
\frac{0.5}{0.5 / 3 + 1 / 3 + 0 / 3} = \frac{1}{3}
</math>.</center>
באופן דומה אפשר לראות כי
<math>\mathbb{P}(C | B') = \frac{2}{3}</math>.
לכן כדאי למתחרה להחליף את בחירתו לדלת C - הוא מכפיל את סיכוייו לזכות.
}}
| |||