הסתברות/מבוא/דוגמה מסכמת - ניסויי ברנולי: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 68:
==הסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי כלשהו==
מה הסיכוי שהניסוי יצליח לראשונה בפעם
{{משפט|תוכן=
שורה 79:
<math>0\cdots01</math>
(כלומר, <math>k - 1</math> אפסים ואז 1 יחיד). ראינו כבר שזו ההסתברות לסדרה זו.
}}
לחלופין, מה הסיכוי ש-<math>k - 1</math> הנסיונות הראשונים ייכשלו? התשובה היא כמובן <math>q^{k - 1}</math>. אפשר לראות זאת בשני אופנים שונים, שכ"א מהם מתאים לאינטרפרטציה שונה של מרחב המדגם.
{{הוכחה|1=
נגדיר את מרחב המדגם כרצף באורך <math>k - 1</math> של תוצאות. במרחב מדגם זה, יש רק איבר יחיד המתאים - רצף של <math>k - 1</math> כשלונות. ראינו שההסתברות לרצף זה היא <math>q^{k - 1}</math>.
לחלופין, נגדיר את מרחב המדגם ככל הרצפים האפשריים עד ההצלחה הראשונה. במרחב מדגם זה, יש מספר איברים מתאימים:
# הרצף המורכב מ-<math>k - 1</math> כשלונות ולאחריהן הצלחה.
# הרצף המורכב מ-<math>k</math> כשלונות ולאחריהן הצלחה.
# הרצף המורכב מ-<math>k + 1</math> כשלונות ולאחריהן הצלחה.
# וכו'
היות שהמאורעות זרים, נחבר את הסתברויותיהם:
<center><math>\mathbb{P}(q^{k - 1}p) + \mathbb{P}(q^{k}p) + \mathbb{P}(q^{k + 1}p) + \cdots
=
p q^{k - 1} [1 + q + q^2 + \cdots] =
p q^{k - 1} \frac{1}{1 - q} = q^{k - 1}
</math></center>
}}
| |||