חשבון אינפיניטסימלי/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 208:
=====פונקציה חד-חד-ערכית=====
פונקציה, <math>\ f(x)</math>, היא '''חד-חד-ערכית''' (או פחות נפוץ, '''אינג'קטיבית''') אם, לכל ערך של <math>\ f</math>, יש רק ערך אחד של x שמתאים לערך המסויים הזה של <math>\ f</math>. לדוגמא, הפונקציה <math>f(x)=\sqrt{1-x^2}</math> היא לא חד-חד-ערכית, מכיוון שעבור x=1 וגם עבור x=-1 התוצאה היא <math>\ f(x)=0</math>. אך, הפונקציה <math>\ f(x)=x+2</math> היא חד-חד-ערכית מכיוון שעבור כל ערך אפשרי של <math>\ f(x)</math> (או <math>y</math>), יש בדיוק ערך אפשרי אחד של <math>x</math> (והוא <math>y-2</math>) שיגרום ל-<math>\ f(x)</math> להיות y.
=====הפונקציה ההפכית=====
לפונקציה <math>\ f(x)</math> יש פונקציה הופכית ''אם ואך ורק אם'' <math>\ f(x)</math> היא חד-חד-ערכית. עבור <math>\ f(x)</math> ו-<math>\ g(x)</math> כך ש-<math>\ g(x)</math> היא ההופכית של <math>\ f(x)</math> מתקיים:
<div align=left>
.<math>\ g(f(x))=f(g(x))=x</math>
</div>
לדוגמא, ההפכי של <math>\ f(x)=x+2</math> היא <math>\ g(x)=x-2</math>. לפונקציה <math>f(x)=\sqrt{1-x^2}</math> אין פונצקיה הופכית.
======סימון======
הפונקציה ההופכית של <math>\ f(x)</math> מסומנת כ-<math>\ f^{-1}(x)</math>.
=====שרטוט פונקציות=====
[[Image:Graphofyequals2x.png|thumb|Graph of y=2x]]
לפעמים קשה להבין את ההתנהגות של פונקציה הנתונה כהגדרה בלבד; ייצוג ויזואלי או גרף יכולים לסייע. '''גרף''' הוא קבוצה של נקודות במישור הקרטזי, כאשר כל נקודה <math>\ (x,y)</math> מצהירה ש-<math>\ f(x)=y</math>. במילים אחרות, גרף משתמש במיקומה של נקודה בכיוון אחד (''הציר האנכי'' או ''ציר ה-y'') בשביל לציין את הערך של <math>\ f</math> עבור מיקום של הנקודה בכיוון אחר (''הציר המאוזן'' או ''ציר ה-x'').
אפשר לשרטט פונקציה על-ידי מציאת ערכה של <math>\ f</math> עבור x-ים שונים ולשרטט את הערכים <math>\ (x,f(x))</math> במישור הקרטזי. מכיוון שהפונקציות שאתן נתעסק הן בדרך-כלל רציפות (ראה למטה), החלק הריק של הפונקציה בין הנקודות המשורטטות יכול להיות מוערך בקירוב ע"י שרטוט קו או עקום בין הנקודות.
הרחבה של הפונקציה מעבר לנקודות ששרטטנו אפשרית, אך נעשית לא מהימנת ככל שהרחבה זו נמשכת (או פשוט שגויה אם התנהגותה של הפונקציה משתנה).</br>
שרטוט נקודות באופן הזה זו עבודת פרך. למרבה המזל, גרפיהן של פונקציות מרובות 'נופלים' לתבנית כללית. הנה הצדקה פשוטה: נשקול פונקציה מהצורה
<div align=left>
.<math>f(x)={a\over b}x</math>
</div>
בהנתן ש-b אינו 0, הגרף של <math>\ f</math> הוא קו ישר, העובר דרך הנקודות <math>\ (0,0)</math>, <math>({b\over a},1)</math> ו-<math>\ (b,a)</math>. לכן, אחרי שרטוט שלושת הנקודות הללו, ניתן להשתמש בסרגל בכדי לשרטט את הקו ארוך ככל שנרצה.
=====רציפות=====
רוב הפונקציות שאתן תתעסק, הן לא גיבוב אקראי של נקודות על הדף. בדרך-כלל, בגרף יש עקומה אחת או יותר, בהן אין מרווחים פתאומיים (חורים), וניתנות לציור מבלי להרים את העפרון. מאוחר יותר בספר, עקרון הרציפות יוגדר באופן פורמלי על-ידי שימוש בגבולות.
==מניפולציות אלגבריות==
===מטרת הסקירה===
בקטע זה נתמודד עם מניפולציות אלגבריות לאור הידע שברשותנו על פונקציות ועל הרכבות של פונקציות.
===החוקים של האלגברה והאריתמטיקה===
החוקים הבאים נכונים תמיד (ראה:[[תורת השדות]]).
| |||