חשבון אינפיניטסימלי/פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Gadial (שיחה | תרומות)
מ שכתובים קלים
שורה 20:
 
=====מבחן הקן הישר=====
מבחן הקן הישר הוא מבחן שיטתי הנועד לענות על השאלה האם ביטוי מסויים יכול לשמש כפונקציה. פשוט, שרטט את הביטוי ומתח אנך לאורך כל נקודה בתחום היחס; אם האנך נוגע ביותר מנקודה אחת עבור כל ארגומנט, זו אינה פונקציה; אם הוא נודענוגע בערך אחד ויחיד אז זוהי פונקציה. עלינו לציין שמשמעות המילה פונקציה לפעמים מורחבת בכדי לכלול את המקרים של גרף עם יותר ממשתנה אחד. אלהאלו הםהן פוקנציותפונקציות מרובות משתנים. בהקשר זה המבחן שתואר זה עתה יגלה אם פונקציה מסויימת היא חד-חד-ערכית או לא. ראה את הקטע על פונקציות חד-חד-ערכיות בהמשך.
 
===סימון===
שורה 32:
<div align=left><math>f(2) = 3\times2+2 = 6+2= 8\ </math></div></br>
</br>
הסימון דלעיל הרבה יותר אינפורמטיבי כלעומתלעומת השמטת המשתנה הבלתי תלוי וכתיבת '<math>\ f</math>', אך עדיין יכול להיות מעורפל מכיוון שהסוגריים יכולים להיות מפורשים ככפל. עקביות בסימון משפרת באופן ניכר את בהירותו של טקסט מתמטי.
 
===דוגמאות===
שורה 60:
 
===מניפולציות על פונקציות===
אפשר לתמרןלפעול על פונקציות באופן דומה לכל משתנה אחר; אפשר לחבר אותן, להכפיל אותן, להעלות אותם בחזקה, וכד'. לצורך העניין, נניח כי
<div align=left>
 
שורה 77:
</div>
 
בכל אופן, ישנה דרך ספציפית אחת לשלב פונקציות שאינה מתאימהקיימת לשימושבהקשר עםשל משתנים אחריםשאינם פונקציות. ערכה של פונקציה <math>\ f</math> תלוי בערכו של משתנה עוד משתנההמשתנה <math>\ x</math>; אך, משתנה זה יכול להיות שווה לפונקציהלתוצר של פונקציה אחרת <math>\ g</math>, אזשפעלה ערכובתורה תלוי בערכו שלעל משתנה שלישי. אם זהו המקרה, אז התוצר של המשתנה הראשוןהשלישי על ידי הפעולה המשולבת של <math>\ f</math> ו-<math>\ g</math> הוא פונקציה <math>\ h</math> של המשתנה השלישי; פונקציה זו <math>\ (h)</math> נקראת ה'''הרכבה''' של שתי הפונקציות האחרות <math>\ (f, g)</math>. ההרכבה מסומנת על-ידי
<div align=left>
 
שורה 103:
:<math>f(g(x))\ne g(f(x))\,</math>.
</div>
הרכבות של פונקציות מאוד נפוצות, בעיקרבשל מכיווןהשימושים שהפונקציותהרבים עצמןשקיימים מאודלפונקציות נפוצותבאופן כללי. לדוגמא: חיבור, כפל וכד', יכולים להיות מבוטאים כפונקציות של יותר ממשתנה אחד בלתי תלוי:
<div align=left>
 
שורה 132:
 
===תחום וטווח===
לעתים קרובות התחום והטווח של פונקציה הם קבוצה של כל המספרים הממשיים הנמצאים שגדולים ממספר אחד וקטנים ממספר אחר. לקבוצה זו מספר כינויים: "מרווח", "קטע" או "אינטרוול" (Interval). בשל המרכזיות של מושג זה הוא זכה לסימונים מיוחדים, עבור כל סוגי המרווחים הקיימים.
=====סימון=====
הסימון בו משתמשים להגדרת המרווחים הוא מאוד פשוט, אך לעיתים לא ברור בגלל הדמיון לסימון הזוג הסדור.
שורה 179 ⟵ 180:
|}
 
נשים לב ש-<math>\infty</math> חייב תמיד להיות לא כלול (הכוונה שאינו נמצא בצד של הסוגריים המרובעים אלא תמיד נסגר עם סוגריים עגולים). זה מכיוון ש-<math>\infty</math> אינו מספר ממשי, ולכן אינו יכול להיות בתוך הקבוצה שלנו. למעןבאופן האמת,כללי בחשבון אינפיניטסימלי אנו משתמשים ב-<math>\infty</math> הוא רקבתור סמל שמקל עלינו את הכתיבה ובא לציין שמשהו אינו חסום (כלומר, בדומהיכול להיות למרווחיםגדול דלעילכרצוננו).
 
=====תחום=====
שורה 201 ⟵ 202:
<div align=left>
 
<math>\ f(x)=\sqrt{1-x^2}</math>
</div>
 
אז <math>\ f(x)</math> יכולה להיות שווה אך ורק לערכים הנמצאים באינטרוול מ-<math>\ 0</math> ל-<math>\ 1</math>. לכן, הטווח של <math>\ f</math> הוא <math>\left[0,1\right]</math>.
 
=====פונקציה חד-חד-ערכית=====
שורה 232 ⟵ 233:
 
=====רציפות=====
רוב הפונקציות שאתןשנהיה תתעסק,מעוניינים בהן בקורס הןהזה לאאינן גיבוב אקראי של נקודות על הדף, אלא פונקציות מסוג פשוט יחסית הנקראות "פונקציות רציפות". בדרך-כלל,ניתן בגרףלאפיין ישפונקציות עקומהכאלו אחתבצורה אואינטואיטיבית יותר,על בהןידי כך שבגרף שלהן אין מרווחים פתאומיים (חורים), וניתנותוניתן לצייר לציוראותן מבלי להרים את העפרון מהדף. גם פונקציות שמורכבות ממספר עקומות רציפות שכאלו יעניינו אותנו. מאוחר יותר בספר, עקרוןמושג הרציפות יוגדר באופן פורמלי על-ידי שימוש בגבולותבמושג הגבול, שהוא המושג המרכזי בחשבון האינפיניטסימלי.
 
==מניפולציות אלגבריות==
שורה 240 ⟵ 241:
 
===החוקים של האלגברה והאריתמטיקה===
החוקים הבאים נכונים תמיד (ראה:[[תורתכאשר השדות]]).עוסקים במספרים ממשיים ובפונקציות המוגדרות עליהם:
 
*חיבור
שורה 279 ⟵ 280:
 
==קישורים חיצוניים==
דף השיחה של כותב הערך, גל גרוס [http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%AA_%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:GalGross]