חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
Shay Ben Moshe (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 85:
{{הוכחה|
נניח בלי הגבלת הכלליות כי <math>\ \left\{a_n \right\}</math> סדרה מונוטונית עולה. נסמן את הסופרמום של הסדרה ב-<math>L</math>, ונוכיח כי הסדרה מתכנסת אליו. מהגדרת הסופרמום נובע כי <math>\forall \varepsilon > 0 \exists N: L - \varepsilon < a_N</math>. בנוסף מכיוון שהסדרה מונוטונית עולה מתקיים <math>\forall N \forall n > N: a_N \leq a_n</math>. נזכור גם כי <math>L</math> הוא הסופרמום ולכן <math>\forall n: a_n \leq L</math>. משילוב התוצאות נקבל <math>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n > N: L - \varepsilon < a_N \leq a_n \leq L < L + \varepsilon</math> ובסך הכל <math>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n > N: L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon</math> כנדרש.
}}}}
| |||