הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן דיריכלה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
טורה המכ
Dangador (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{לשכתוב}}
מבחן דיריכלה הוא מבחן הבודק התכנסות של טורים עבור טורים '''לא בהכרח חיוביים'''- לא כל איברי הטור חיוביים. על כן, הטורים המתקבלים אינם תמיר טורים המתכנסים בחלט. מבחן זה מאפשר לנו למצוא טורים המתכנסים בתנאי- טורים אשר מתכנסים, אך הערך המוחלט שלהם לא מתכנס.
 
'''משפט:''' תהי <math>\!\, a_n </math> סדרה מונוטונית שואפת לאפס ותהי <math>\!\, b_n </math> סדרה שעבורה קיים מספר חיובי M כך שלכל N טבעי מתקיים <math> | \sum_{n=1}^N{b_n} | < M </math> . בתנאים אלה הטור <math> \sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n </math>מתכנס.
'''<span style="color: purple;">מבחן דיריכלה:</span>'''<br />
 
עבור כל סידרה מונוטונית המתכנסת לאפס (a<sub>n</sub>) , וכל טור חסום
''הוכחה:'' היות והטור <math> \sum_{n=1}^\infty b_n </math> מתכנס בהחלט, ע"פ קרטריון קושי להתכנסות טורים לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>N_b</math> כך שלכל <math> n > N_b</math> מתקיים: <math>\left| {b_{n + 1} + b_{n + 2} + ... } \right| < \varepsilon</math>.
(<math>\Sigma</math> (b<sub>n</sub>
היות והסדרה <math>\!\, a_n </math> מונוטונית ושואפת לאפס, קיים <math>N_a</math> טבעי כך שלכל <math>n > N_a</math> מתקיים <math>| a_n | < 1 </math>. נקח <math> N = max(N_a,N_b)</math> , כך שלכל <math> n> N </math> מתקיים <math> |a_n \cdot b_n | < | b_n | </math>. מכאן לפי משפט ההשוואה הטור <math> \sum_{i=n}^\infty a_i \cdot b_i </math> מתכנס, ומכאן שהטור <math> \sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n </math> כולו מתכנס, כנדרש. מ.ש.ל.
מכפלת הסידרה בטור מתכנסת לגבול סופי.
 
<div style="direction: ltr;">
lim<math>\Sigma</math>a<sub>n</sub> b<sub>n</sub>
</div>
 
'''דוגמאות לשימוש במשפט:'''<br />
טור לייבניץ הינו מקרה פרטי של מבחן דיריכלה.
 
[[קטגוריה:הוכחות מתמטיות (ספר)]]