|
===למת עזר: אם <math>\ n^2</math> זוגי, אזי: <math>\ n </math> זוגי.===
''הוכחת הלמה'':</br>
מכפלת מספר זוגי במספר זוגי היא זוגית, בעוד שמכפלת מספר אי-זוגי במספר אי-זוגי היא אי-זוגית, ולכן אם מכפלת מספר בעצמו היא זוגית - המספר זוגי, ולהפך.
יהא <math>\ n </math> מספר זוגי כלשהו, אז נוכל לרשום אותו באופן הבא: <math>\ n=2\times k</math>, כאשר <math>\ k\in\mathbb{Z}</math>. ואז: <math>\ n^2 =\left( 2k \right) ^2 =4k^2</math>, וכמובן ש- <math>\ 4k^2</math> הוא מספר זוגי.</br>
יהא כעת <math>\ n </math> מספר אי-זוגי כלשהו. אז נוכל לרשום אותו באופן הבא: <math>\ n=2k+1</math>, כאשר <math>\ k\in\mathbb{Z}</math>. ואז נקבל:
<math>\ n^2 = \left( 2k+1 \right) ^2 = \underbrace{ 4k^2 }_{(*)} + \underbrace{ 4k }_{(*)} +1=(**) </math></br>
כל אחד מהביטויים (*) הוא זוגי, לכן סכומם זוגי. נוסיף להם <math>\ 1 </math>, ונקבל שהביטוי (**) הוא אי זוגי.
לכן, האפשרות היחידה עבור מספר <math>\ n^2 </math> כלשהו להיות זוגי, הוא אם <math>\ n </math> עצמו זוגי. ▪
===הוכחת הטענה===
| 