מערכות ספרתיות ומיקרו מחשבים/אלגברה בוליאנית

אלגברה בוליאנית היא אוסף של חוקים מתמטים אשר מתייחסים לשני ערכים בלבד: אמת ושקר, למשל "1" ו-"0" לוגיים בהתאמה. האלגברה הבוליאנית שימושית עבורנו כיוון שגם בחשמל ישנם שני מצבים; ערך אמת, "1" מיוצג בזרם של כ5V. לעומת זאת ערך שקר, "0", אינו העדר זרם מוחלט, אלא זרם קטן ביותר.

פעולות בוליאניותעריכה

פעולות בוליאניות מאפשרות למחשבים לבצע חישובים שונים על ערכי הזרמים החשמליים, המייצגים ערכי אמת ושקר, או ערכים בבסיס 2. שערים לוגיים הם רכיבים אלקטרונים המבצעים פעולות בוליאניות על זרמי החשמל. כדי להסביר בבהירות את מהות הפעולות, אנו נשתמש בראשית בדוגמא א-מתמטית, ולאחר מכן נגדיר את הפעולה בעזרת טבלת אמת.

פעולת NOTעריכה

פעולת NOT, או בעברית "לא" מסומלת ע"י הסימן ' , -תג.

דוגמאעריכה

לפני שנגדיר את פעולת NOT באופן מתמטי, נתבונן בדוגמא:

התלמיד ילמד למבחן אם הוריו יפעילו 'פסיכולוגיה הפוכה' ויגידו לו שהוא כלל אינו חייב לקבל ציון טוב, ומבחינתם הוא יכול להישאר שנה נוספת בכיתה ג.*

  • נסמן באות A את תגובת ההורים, כך ש A=1 משמע שגרמו לילד להבין כי הם מעוניינים שילמד, ואילו A=0 אומר שהפעילו 'פסיכולוגיה הפוכה'.
  • נסמן באות B את התוצאה, כך ש B=1 משמע שהילד למד למבחן.


A=1
B='A
B=?


פתרון

B='A='1=0
ההורים גרמו לילד להבין כי הם מעוניינים שילמד. התוצאה: הילד לא למד למבחן.
אילו היו מפעילים 'פסיכולוגיה הפוכה' הוא היה לומד.


*איננו מעודדים אי-מעורבות הורית.

הגדרה מתמטיתעריכה

טבלת האמת של "Not"

קלט תוצאה
0 1
1 0


פעולת ANDעריכה

פעולת AND, או בעברית "גם" מסומלת ע"י הסימן , בדומה לסימן הכפל הנהוג באלגברה הרגילה.

לא להתבלבל עם הסימן "+" המייצג פעולת OR.

דוגמאעריכה

לפני שנגדיר את פעולת AND באופן מתמטי, נתבונן בדוגמא:

האור ידלק אם הנורה תקינה, ואם המתג מאפשר את זרימת החשמל.

  • נסמן באות A נורה תקינה, כך ש A=1 משמע שהנורה תקינה, ואילו A=0 אומר שהנורה נשרפה.
  • נסמן באות B מתג , כך ש B=1 משמע שהמתג פעיל.
  • נסמן באות C את התוצאה, כך ש C=1 משמע שהאור נדלק.


A=1
B=0
C=AB
C=?


פתרון

c=1•0=0
הנורה היתה תקינה, אך המתג היה במצב כבוי. התוצאה: האור לא נדלק.


הגדרה מתמטיתעריכה

טבלת האמת של "And"

קלטים תוצאה
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1 1 1

פעולת NANDעריכה

ההפך מפעולת AND. לא תינתן דוגמא, אלא רק טבלת אמת.

קלטים תוצאה
0 0 1
1 0 1
0 1 1
1 1 0

פעולת ORעריכה

פעולת OR, או בעברית "או" מסומלת ע"י הסימן +, בדומה לסימן החיבור הנהוג באלגברה הרגילה.

דוגמאעריכה

לפני שנגדיר את פעולת OR באופן מתמטי, נתבונן בדוגמא:

אם משה הקטן ישתה נפט, תכאב לו הבטן. אם משה הקטן יאכל מסמרים, תכאב לו הבטן. מה צריך להתקיים כדי שלמשה הקטן תכאב הבטן? תשובה: הוא צריך לשתות נפט, או, לאכול מסמרים, או, לעשות את שניהם.

  • נסמן באות A שתיית נפט, כך ש A=1 אומר שמשה שתה נפט, ואילו A=0 אומר שמשה לא שתה נפט.
  • נסמן באות B אכילת מסמרים, כך ש B=1 אומר שמשה אכל מסמרים.
  • נסמן באות C את התוצאה, כך ש C=1 אומר שלמשה כואבת הבטן.

פתור את התרגיל הבא, והסבר במילים את המשמעות:


A=0
B=0
C=A+B
C=?
פתרון

c=0+0=0
משה הקטן לא שתה נפט, ולא אכל מסמרים. התוצאה: לא כאבה לו הבטן.


הגדרה מתמטיתעריכה

קלטים תוצאה
0 0 0
1 0 1
0 1 1
1 1 1

פעולת NORעריכה

ההפך מפעולת OR. לא תינתן דוגמא, אלא רק טבלת אמת.


טבלת האמת של "NOR"

קלטים תוצאה
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 1 0